Échelle et topologie : de l'interaction entre topologie et géométrie

Scale and topology: about the interaction between topology and geometry

• Auteur / Autrice : Yann-Situ Gazull
• Direction : Alexandra Bac
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIS Laboratoire d'Informatique et Systèmes

Mots clés

Mots clés libres

Homologie persistante

Géométrie algorithmique

Topologie algébrique

Hdvf

Persistent homology

Computational geometry

Algebraic topology

Hdvf

Résumé

Intégrer des facteurs d'échelle dans le calcul de l'homologie est une question cruciale, au centre de nombreux travaux actuels. Les enjeux en sont multiples : adjoindre une notion d'échelle et de résolution au calcul de la topologie, contrôler la complexité du calcul de l'homologie (qui reste cubique) en mettant en place des approches multirésolution, suivre l'homologie d'un objet au cours d'une transformation ou d'une animation, etc. Pour donner un exemple concret, une des perspectives de cette thèse est le calcul de l'homologie persistante d'un complexe à partir du calcul réalisé sur une version en basse résolution de ce même complexe. Ce problème est intéressant car il permet d'obtenir un résultat à la volée, avant d'obtenir l'entièreté des données, et de décider jusqu'à quel niveau de résolution il est nécessaire d'arriver. Une partie complexe de ce problème, dans laquelle les HDVF (homological discrete vector field) semblent donner une réponse, est comment réutiliser le calcul déjà réalisé pour une résolution plus basse. La persistance homologique est d'une certaine manière une première percée en ce sens (permettant d'intégrer une information de filtration monotone au calcul de l'homologie). Mais cette monotonie demeure limitative (la notion d'échelle nécessite des filtrations de type Mayer-Vietoris, qui implique de considérer, par exemple, de la persistance zigzag). Le but de ce travail de thèse est donc d'intégrer ces facteurs d'échelle et de résolution dans le cadre de l'homologie algorithmique, de l'homologie persistante et de leur calcul. Il s'agit non seulement de pouvoir conceptualiser ces notions, mais aussi d'obtenir des résultats algorithmiques permettant de calculer l'homologie de manière progressive ou itérative, avec garanties, et à complexité contrôlée. En effet, la complexité cubique du calcul des générateurs d'homologie est extrêmement limitative. Dans ce cadre, puisque les HDVF permettent de revisiter les différents champs de l'homologie algorithmique (forme normale de Smith, homologie effective, théorie de Morse discrète, homologie persistante), on s'intéressera à l'intégration de la persistance zigzag et de la persistance multi-dimensionnelle aux HDVF. Partant de là, il sera alors possible de proposer une approche de la notion d'échelle et de résolution en homologie.

Incorporating scaling factors into homology computation is a crucial issue, at the center of current research. There are many issues at stake: adding a notion of scale and resolution to topology computation, controlling the complexity of homology computation (which remains cubic) by implementing multi-resolution approaches, following the homology of an object during a transformation or animation, etc. To give a concrete example, one of the perspectives of this thesis is the calculation of the persistent homology of a complex from the calculation performed on a low-resolution version of the same complex. This problem is interesting because it allows us to obtain a result on the fly, before obtaining the full data, and to decide how high a resolution is needed. A complex part of this problem, to which HDVFs (homological discrete vector fields) seem to provide an answer, is how to reuse the calculation already carried out for a lower resolution. Homological persistence is to some extent a first breakthrough in this direction (allowing monotonic filtration information to be integrated into the homology calculation). But this monotonicity remains limiting (the notion of scale requires Mayer-Vietoris-type filtering, which implies to consider, for instance, zigzag persistence). The aim of this thesis is therefore to integrate these factors of scale and resolution into the framework of algorithmic homology, persistent homology and their computation. The aim is not only to be able to conceptualize these notions, but also to obtain algorithmic results that enable homology to be computed progressively or iteratively, with guarantees, and with controlled complexity. Indeed, the cubic complexity of calculating homology generators is extremely limiting. In this context, since HDVFs allow us to revisit the various fields of algorithmic homology (Smith's normal form, effective homology, discrete Morse theory, persistent homology), we will focus on the integration of zigzag persistence and multi-dimensional persistence with HDVFs. On this basis, it will then be possible to propose an approach to the notion of scale and resolution in homology.