Soficité des espaces de pavages multidimensionnels

Sοficity οf multidimensiοnal subshifts

• Auteur / Autrice : Antonin Callard
• Direction : Pascal Vanier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 24/06/2025
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Groupe de recherche en informatique, image, automatique et instrumentation de Caen (1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Établissement co-accrédité : Université de Caen Normandie (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Irène Marcovici
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Irène Marcovici, Jarkko Kari, Andrei Evgenjevich Romashchenko, Sébastien Labbé, Guillaume Theyssier, Nicolas Ollinger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jarkko Kari, Andrei Evgenjevich Romashchenko
• DOI : 10.70675/2f62f620z4bccz465dzb2c1z6a3cc5634f2a

Mots clés

Mots clés contrôlés

Pavage (mathématiques)

Dynamique symbolique

Décidabilité (logique mathématique)

Mots clés libres

Sous-Shifts sofiques

Calculabilité

Tilings

Sofic subshifts

Symbolic dynamics

Computability

Résumé

En dynamique symbolique, un sous-shift multidimensionnel est un language formel de coloriages infinis de l'espace discret défini en termes de motifs interdits. Comme les langages de mots finis, pour lesquels ont été définies des classes de complexité (qui incluent classiquement les langages locaux, rationnels, algébriques ou calculablement énumérables…) en fonction de l'expressivité des différentes machines qui les reconnaissent (respectivement : les automates locaux, les automates finis, les automates à piles et les machines de Turing), les sous-shifts ont été classifiés en sous-shifts de types finis (définis par des familles finies de motifs interdits), sous-shifts effectifs (définis par des familles calculablement énumérables) et sous-shifts sofiques : ces derniers forment une classe intermédiaire entre les deux précédentes, et sont définis comme les images morphiques des sous-shifts de types finis par des automates cellulaires.Nous nous intéressons à la question suivante : quand un sous-shift donné est-il sofique ? Autrement dit, comment prouve-t-on (ou réfute-t-on) la soficité d'un sous-shift ? Si cette question est résolue en dimension 1 (les sous-shifts sofiques en dimension 1 étant similaires aux langages rationnels, le théorème de Myhill-Nerode caractérise la soficité en dimension 1 par comptage du nombre de « contextes »), décrire la frontière entre les sous-shifts multidimensionnels sofiques et effectifs reste un problème ouvert en dynamique symbolique.Cette thèse se divise en deux parties indépendantes, précédées de chapitres préliminaires d'introduction et de définitions des notions étudiées (de dynamique symbolique, calculabilité…). Dans la première partie, nous étudions les ensembles d'extensions des sous-shifts multidimensionnels (qui, informellement, comptent les classes de motifs qui peuvent être librement échangés dans les configurations d'un sous-shift) selon leur (in)calculabilité : en particulier, nous prouvons que les entropies d'extensions des sous-shifts (i.e. le taux de croissance du nombre d'ensemble d'extensions) peuvent être entièrement caractérisées calculablement dans la hiérarchie arithmétique des nombres réels, le niveau précis dépendant de la complexité et des propriétés dynamiques vérifiées par le sous-shift considéré. Dans la seconde partie, nous prouvons une condition suffisante pour la soficité des sous-shifts multidimensionnels s'appuyant sur une quantification de « l'information utile » contenue dans les motifs : plus précisément, nous introduisons une notion de représentation inductive (qui, informellement, décrit l'information échangée par des motifs adjacents d'une taille donnée pour vérifier la validité locale d'une configuration), et nous prouvons qu'admettre des représentations calculables de petites complexité est une condition suffisante pour la soficité d'un sous-shift. Enfin, nous présentons ces résultats comme une complexité de communication sur des coloriages infinis, et argumentons que la complexité de communication non-déterministe forme un cadre riche pour l'étude de la soficité des sous-shifts multidimensionnels.

In symbolic dynamics, a multidimensional subshift is a formal language of infinite colorings of the discrete space defined in terms of forbidden patterns. As languages of finite words have been classified into several complexity classes (which, classically, include the local regular, context-free, and computably enumerable languages…) depending on the expressiveness of the various devices used for their descriptions (respectively: local automata, finite automata, pushdown automata, Turing machines…), subshifts have been classified into subshifts of finite type (definied by finite families of forbidden patterns), effective subshifts (defined by computably enumerable families of forbidden patterns) and the sofic subshifts: the latter form an intermediary class, and are defined as the morphic images of subshifts of finite type by cellular automata.We are interested in the following question: when is a given subshift actually sofic? In other words, how does one prove or disprove the soficity of a subshift? While this question is entirely solved in the one-dimensional setting (as one-dimensional sofic subshifts are very similar to regular languages of finite words, the Myhill-Nerode theorem characterizes one-dimensional soficity by counting the number of possible “contexts”), describing the frontier between sofic and effective multidimensional subshifts is still an open problem in symbolic dynamics.This thesis is divided in two independent parts, with preliminary chapters of introduction and definitions of the relevant notions being considered (from symbolic dynamics, computability theory…). In the first part, we study the extender sets of multidimensional subshifts (which, informally, count the classes of patterns that can be freely exchanged in the configurations of a subshift) using computability theory: in particular, we prove that extender entropies of multidimensional subshifts (i.e. the growth rate of the number of extender sets) can be fully characterized computationally in the arithmetical hierarchy of real numbers, the precise level depending on the complexity and the dynamical properties verified by the considered subshifts. In the second part, we prove a sufficient condition for multidimensional soficity based on a quantification of the “useful information” contained in patterns: more precisely, we introduce a notion of inductive representations (which, informally, describe the information exchanged between adjacent patterns of a given size to check the local validity of a configuration), and prove that admitting computable representations of small complexity is a sufficient condition for soficity. Finally, we describe these results as a variant of communication complexity on infinite colorings, and argue that non-deterministic communication complexity is a fruitful context of the study of multidimensional soficity.