Classification of dynamical filtrations and positive entropy systems

Classification des filtrations dynamiques et étude des systèmes d'entropie positive

• Auteur / Autrice : Severin Benzoni
• Direction : Thierry De la rue, Emmanuel Roy
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Inscription en doctorat le 23/09/2021; Soutenance le 10/09/2024
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LABORATOIRE DE MATHEMATIQUE RAPHAEL SALEM
• Partenaire(s) de recherche : Établissement co-accrédité : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thierry De la rue, Christophe Leuridan, Irene Marcovici, Elise Janvresse, Emmanuel Roy, Tim Austin, Benjamin Weiss
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Benjamin Weiss, Christophe Leuridan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Couplage, théorie du

Mots clés libres

Extensions confinées, extensions compactes, couplages, suspensions de Poisson, entropie, schémas de Bernoulli, K-systèmes, filtrations dynamiques, filtrations de Pinsker faible

Confined extensions, compact extensions, joinings, Poisson suspensions, entropy, Bernoulli systems, K-systems, dynamical filtrations, weak Pinsker filtrations

Résumé

Dans cette thèse, nous explorons les structures possibles des systèmes dynamiques de la forme $\bfX :=(X, \A, \mu, T)$ et leurs tribus facteur $\B \subset \A$. Les deux premiers chapitres étudient les différentes façons dont une tribu facteur $\B$ peut s'inclure dans un système dynamique $\bfX :=(X, \A, \mu, T)$, c'est-à-dire que nous étudions certaines structures possibles de l'\emph{extension} $\A \arr \B$. Dans le premier chapitre, nous considérons les concepts de \emph{super-innovations} et de \emph{standardité} des extensions, inspirés de la théorie des filtrations. Un point important est l'introduction de la notion d'\emph{extensions confinées}, qui nous intéressent parce qu'elles n'ont pas de super-innovation. Nous donnons plusieurs exemples et étudions des propriétés supplémentaires de ces extensions, y compris des résultats de relèvement. Ensuite, nous montrons notre résultat principal : l'existence d'extensions non-standard. Enfin, ce résultat trouve une application dans l'étude des filtrations dynamiques, qui sont les filtrations de la forme $(\F_n)_{n \leq 0}$ telles que chaque $\F_n$ est une tribu facteur. Nous montrons qu'il existe des \emph{filtrations dynamiques I-confortables non standard}. Le deuxième chapitre approfondit l'étude des extensions confinées en trouvant un nouveau type de telles extensions, dans le cadre des suspensions de Poisson : nous prenons un système dynamique $(X, \mu, T)$ en mesure $\s$-finie infinie et une extension compacte $(X \times G, \mu \otimes m_G, T_\phi)$, puis nous considérons l'extension de Poisson correspondante $((X \times G)^*, (\mu \otimes m_G)^*, (T_\phi)_*) \to (X^*, \mu^*, T_*)$. Nous donnons des conditions sous lesquelles cette extension est confinée et construisons un exemple qui correspond à ces conditions. Enfin, le troisième chapitre se concentre sur une famille de filtrations dynamiques : les \emph{filtrations de Pinsker faible}. L'existence de ces filtrations sur tout système ergodique provient d'un résultat récent d'Austin \cite{austin}, et elles se présentent comme un outil potentiel pour décrire les systèmes à entropie positive. Nous explorons les liens entre la structure asymptotique des filtrations de Pinsker faible et les propriétés du système dynamique sous-jacent. Naturellement, nous demandons aussi si, sur un système donné, la structure des filtrations de Pinsker faible est unique à isomorphisme près. Nous donnons une réponse partielle, dans le cas où le système sous-jacent est un schéma de Bernoulli. Nous concluons notre travail en donnant deux exemples explicites de filtrations de Pinsker faible.

In this thesis, we explore the possible structures of measure preserving dynamical systems of the form $\bfX :=(X, \A, \mu, T)$ and their factor $\s$-algebras $\B \subset \A$. The first two chapters investigate various ways in which a factor $\s$-algebra $\B$ can sit in a dynamical system $\bfX :=(X, \A, \mu, T)$, i.e. we study some possible structures of the \emph{extension} $\A \arr \B$. In the first chapter, we consider the concepts of \emph{super-innovations} and \emph{standardness} of extensions, which are inspired from the theory of filtrations. An important focus of our work is the introduction of the notion of \emph{confined extensions}, which first interested us because they have no super-innovation. We give several examples and study additional properties of confined extensions, including several lifting results. Then, we show our main result: the existence of non-standard extensions. Finally, this result finds an application to the study of dynamical filtrations, i.e. filtrations of the form $(\F_n)_{n \leq 0}$ such that each $\F_n$ is a factor $\s$-algebra. We show that there exist \emph{non-standard I-cosy dynamical filtrations}. The second chapter furthers the study of confined extensions by finding a new kind of such extensions, in the setup of Poisson suspensions: we take an infinite $\s$-finite measure-preserving dynamical system $(X, \mu, T)$ and a compact extension $(X \times G, \mu \otimes m_G, T_\phi)$, then we consider the corresponding Poisson extension $((X \times G)^*, (\mu \otimes m_G)^*, (T_\phi)_*) \to (X^*, \mu^*, T_*)$. We give conditions under which that extension is confined and build an example which fits those conditions. Lastly, the third chapter focuses on a family of dynamical filtrations: \emph{weak Pinsker filtrations}. The existence of those filtrations on any ergodic system comes from a recent result by Austin \cite{austin}, and they present themselves as a potential tool to describe positive entropy systems. We explore the links between the asymptotic structure of weak Pinsker filtrations and the properties of the underlying dynamical system. Naturally, we also ask whether, on a given system, the structure of weak Pinsker filtrations is unique up to isomorphism. We give a partial answer, in the case where the underlying system is Bernoulli. We conclude our work by giving two explicit examples of weak Pinsker filtrations.