Log-surfaces de Riemann et Tours de Liouville

Log-Riemann surfaces and Liouville Towers

• Auteur / Autrice : Yann Levagnini
• Direction : Ricardo Perez-marco
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 17/12/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse Complexe et Géométrie
• Jury : Président / Présidente : Marie-Claude Arnaud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ricardo Perez-marco, David Blazquez-sanz, Xavier Buff, Kingshook Biswas, Jacques Fejoz, Jean-Pierre Ramis
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Blazquez-sanz, Xavier Buff

Mots clés

Mots clés libres

Log-surface de Riemann

Germe holomorphe

Ramification

Fonction élémentaire

Fonction entière

Valeur asymptotique

Log-Riemann surface

Holomorphic germ

Ramification

Elementary function

Entire function

Asymptotic value

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions géométriquement certaines classes de fonctions par l'étude des log-surfaces de Riemann associées à leurs germes holomorphes et de leur ensemble de singularités. Une log-surface de Riemann (S, π) est une surface de Riemann S équipée d'un difféomorphisme holomorphe local π : S → C. En relevant la métrique euclidienne via l'application π, on obtient un espace métrique ; en complétant cet espace métrique, nous obtenons un lieu de singularités : c'est la complexité topologique de cet ensemble qui est propre aux classes de fonctions étudiées. L'un des résultats principaux de cette thèse est que certaines classes de fonctions, notamment celles obtenues à partir du corps des fonctions rationnelles à l'aide d'extensions logarithmiques successives (ou encore celles obtenues à l'aide d'extensions algébriques et exponentielles successives), ont des log-surface de Riemann associées dont le dérivé n-ième du lieu de singularités est vide pour un entier n assez grand. Ce résultat est faux dans le cas plus général des fonctions Liouvilliennes, obtenues à partir d'extensions exponentielles et intégrales. Dans les cas des fonctions élémentaires, qui sont obtenues à l'aide d'extensions exponentielles et logarithmiques, la question reste ouverte. Une partie importante de la thèse est consacrée à l'étude des fonctions entières : on peut leur associer une log-surface de Riemann qui correspond à la log-surface de Riemann d'un germe de l'inverse de la fonction entière considérée. Les feuillets de ces log-surfaces de Riemann s'étendent indéfiniment dans toutes les directions, sauf éventuellement pour un ensemble de mesure de Lebesgue nulle. La métrique log-euclidienne ne permet pas une correspondance bijective entre les lieux asymptotiques finis de la fonction entière et les singularités transcendantes de la log-surface de Riemann associée ; c'est pour cette raison que nous introduisons une métrique plus fine, due à Mazurkiewicz. Pour les fonctions entières d'ordre fini, les singularités transcendantes sont en nombre fini et peuvent être classifiées : ce sont soit des points de ramification logarithmiques, soit des points d'accumulation de points de ramification d'ordre fini. Cette classification correspond à celle donnée par Iversen pour les inverses de fonctions méromorphes et nous obtenons des versions géométriques des résultats de Bergweiler et Eremenko.

In this thesis, some classes of functions are characterized geometrically studying the log-Riemann surfaces of their holomorphic germs and their set of singularities. A log-Riemann surface is a Riemann surface S together with a local holomorphic diffeomorphism π : S → C. Pulling back the Euclidean metric on C via the map π, we obtain a metric space and completing this metric space, we obtain a set of singularities. The topological complexity of this set characterizes geometrically the classes of functions. One of the main results of this thesis is that some classes of functions - in particular those obtained from the field of rational functions performing successive logarithmic extensions (or even those obtained performing successive algebraic and exponential extensions) - have associated log-Riemann surfaces whose n-th derived singular set is empty for n large enough. This result is no longer true in the more general case of Liouvillian functions, obtained performing exponential and integral extensions; an explicit counter-example is given in that sense. The question remains open in the case of elementary functions, obtained performing exponential and logarithmic extensions. A main part of this thesis is devoted to the study of entire functions: to any entire function can be associated a log-Riemann surface which corresponds to the log-Riemann surface of any holomorphic germ of the inverse of the entire function considered. The sheets of these log-Riemann surfaces spread infinitely in any direction, except possibly for a set of directions of Lebesgue measure 0. The log-euclidean metric does not give a 1-to-1 correspondence between the finite asymptotic spots of the entire function and the transcendental singularities of the associated log-Riemann surface. That is why a finer metric, called Mazurkiewicz' metric, is introduced. Concerning entire functions of finite order, the transcendental singularities are in finite number and can be classified: they are either logarithmic ramification points or accumulation points of ramification points of finite order. This classification corresponds to Iversen's classification of singularities of inverses of meromorphic functions and we obtain geometrical versions of the results of Bergweiler and Eremenko.