Prévision probabiliste de séries temporelles adaptative et multi-horizons

Adaptive and Multi-Horizon Probabilistic Time Series Forecasting

• Auteur / Autrice : Jean-Luc Mahoromeza
• Direction : Olivier Wintenberger
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/03/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)

Mots clés

Mots clés libres

Model espace-état

Filtrage

Séries multivariés

Prévision probabiliste

Multi-horizons

Kalman Filter

Filtering

Probabibilistic prediction

Multivariate time series

Multi-Horizon prediction

Kalman Filter

State-space models

Résumé

La prévision de séries temporelles est un enjeu crucial dans l'ensemble de l'economie: prévisions météorologiques et climatiques pour l'agriculture, prevision de consommation d'energie, prévision de ventes pour la gestion des stocks... Aujourd'hui, une prévision unique et statique ne suffit plus : il faut prévoir à différents horizons temporels, et évaluer l'incertitude associée à ces prévisions. Par horizons, nous entendons des prévisions court terme (jour), moyen terme (semaine, mois) et long terme (année). Le cadre des modèles espace-état est un cadre naturel dans lequel l'environnement est représenté par une variable latente, appelée état. La variable que l'on cherche à prévoir est alors générée selon une distribution paramétrée par l'état. Dans ce cadre, l'objectif est d'estimer l'état au cours du temps, ce qui permet ensuite d'estimer la variable d'intérêt. Le filtre de Kalman est un algorithme récursif qui couvre le cas où l'observation est Gaussienne, et où l'état évolue comme une marche aléatoire dont on connaît la dynamique. Cet algorithme estime de façon Bayésienne la distribution de l'état, conditionnellement aux observations passées. Il permet de prévoir la variable d'intérêt en probabilité, au sens où il donne une prévision de la moyenne et de la variance, pouvant donner lieu à des intervalles de prévision à n'importe quel seuil de confiance. De plus, la prévision peut être réalisée à tout horizon de temps en itérant l'équation d'état. Cependant, dans de nombreuses applications, le modèle espace-état est dit mal spécifié. Cela signifie que les observations ne sont pas réellement générées selon les équations du modèle espace-état. Deux raisons expliquent cela. D'une part, les observations ne sont pas nécessairement distribuées selon la distribution supposée. Par exemple le cas Gaussien sous-estime souvent les phénomènes extrêmes. D'autre part, la dynamique de l'état, représentée par la matrice de covariance du bruit de la marche aléatoire, n'est en général pas connue. L'objectif de la thèse est de répondre à ces problèmes en vue d'obtenir un algorithme récursif donnant des prévisions multi-horizons, ainsi que leurs inter- valles de prévision associés. Les applications porteront sur des données de Califrais.

Time series forecasting is a crucial challenge across the economy: weather and climate predictions for agriculture, energy consumption forecasting, sales forecasting for inventory management, etc. Today, a single static forecast is no longer sufficient: it is necessary to forecast at different temporal horizons and to evaluate the uncertainty associated with these forecasts. By horizons, we mean short-term (day), medium-term (week, month), and long-term (year) forecasts. The state-space model framework is a natural setting in which the environment is represented by a latent variable, called the state. The variable we seek to forecast is then generated according to a distribution parameterized by the state. In this context, the objective is to estimate the state over time, which then allows us to estimate the variable of interest. The Kalman Filter is a recursive algorithm that covers the case where the observation is Gaussian, and the state evolves as a random walk with known dynamics. This algorithm estimates the state's distribution in a Bayesian manner, conditioned on past observations. It allows for the probabilistic forecasting of the variable of interest, in the sense that it provides a forecast of the mean and variance, which can be used to create prediction intervals at any confidence level. Furthermore, forecasting can be done at any time horizon by iterating the state equation. However, in many applications, the state-space model is said to be misspecified. This means that observations are not truly generated according to the equations of the state-space model. Two reasons explain this. On the one hand, the observations are not necessarily distributed according to the assumed distribution. For example, the Gaussian case often underestimates extreme phenomena. On the other hand, the state's dynamics, represented by the covariance matrix of the random walk noise, are generally not known. The thesis aims to address these issues to obtain a recursive algorithm providing multi-horizon forecasts, as well as their associated prediction intervals. The applications will focus on Califrais data.