Dynamique ergodique et topologique des substitutions sur alphabets compacts

Ergodic and topological dynamics of substitutions on compact alphabets

• Auteur / Autrice : Romain Binder
• Direction : Fabien Durand
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 20/02/2024
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée (Amiens ; 1995-....)

Mots clés

Mots clés libres

Substitutions

Dynamique

Ergodique

Topologique

Mesures invariantes

Substitutions

Dynamical systems

Ergodic

Topological

Invariant measures

Résumé

Les systèmes auto-induits sont des systèmes qui ont un ensemble mesurable pour lequel la dynamique de premier retour est isomorphe au système. Durand-Ormes-Petite ont montré en 2019 que ces systèmes étaient en fait engendrés par des substitutions sur des alphabets finis ou infinis, pas nécessairement dénombrables. L'étude des systèmes auto-induits se fera au travers de cette représentation. Suivant la qualité de l'ensemble mesurable (de mesure positive, fermé, clopen, ...) on obtient des familles de systèmes différentes. Cette thèse s'attachera à considérer le cas de l'induction sur un clopen. La famille des systèmes auto-induit sur des clopens contient une famille déjà largement étudiée : les sous-shift substitutifs mais dépasse très largement cette seule famille. Un des résultat emblématique des systèmes substitutifs minimaux est que les fonctions propres de l'opérateur de Koopman sont égales presque sûrement (par rapport à l'unique mesure ergodique de ces systèmes) égales à des fonctions propres continues. La première question sera de tenter de savoir si ce résultat s'étend et dans quelle mesure. Ensuite il s'agira de poursuivre l'étude spectrale avec ses aspects extrémaux comme le mélange d'un coté et le spectre discret de l'autre, mais évidemment en envisageant toutes les situations intermédiaire mais d'expérience, c'est plus difficile.

Self-induced systems are systems that have a measurable set for which the first-return dynamics is isomorphic to the system. Durand-Ormes-Petite showed in 2019 that these systems are in fact generated by substitutions on finite or infinite alphabets, not necessarily countable. The study of self-induced systems will be carried out through this representation. Depending on the quality of the measurable set (positive measure, closed, clopen, etc.), we obtain different families of systems. This thesis will consider the case of induction on a clopen. The family of self-induced systems on clopens includes a family that has already been widely studied: substitutive subshifts, but goes far beyond this single family. One of the emblematic results of minimal substitutive systems is that the eigenfunctions of the Koopman operator are almost certainly (with respect to the unique ergodic measure of these systems) equal to continuous eigenfunctions. The first question is whether this result extends and to what extent. Then it will be a matter of continuing the spectral study with its extremal aspects, such as mixing on the one hand and the discrete spectrum on the other, but obviously by considering all intermediate situations, but from experience, this is more difficult.