Classification des distributions et des feuilletages en courbes sur le espace projectif tridimensionnel

Classification of distributions and foliations by curves on the three-dimensional projective space

• Auteur / Autrice : Victor Zaher cabral cordeiro
• Direction : Daniele Faenzi, Marcos Jardim
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/02/2024
• Etablissement(s) : Dijon, Université Bourgogne Europe
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne

Mots clés

Mots clés libres

Feuilletages

Distributions

Faisceaux

Foliations

Distributions

Sheaves

Résumé

La théorie des distributions et du feuillage a ses origines dans les études du 19ème siècle par les mathématiciens comme Grassman, Jacobi, Clebsch, Cartan et Frobenius. Ceux-ci ont été motivés par le travail fondamental de Pfaff, qui a proposé une approche géométrique pour l'étude des équations différentielles . L'étude qualitative des feuilletages induite par les polynômes a été étudiée par Poincaré, Darboux, Painlevé. En termes modernes, cela correspond à l'étude des feuilletages holomorphes sur des variétés complexes compactes. La classification et la description des feuilletages de codimension 1, induits par les 1-formes différentielles polynomiales, ont été initiés par Jouanolou (grades 0 et 1) et Cerveau et Lins Neto (grade 2). C'est encore un domaine de recherche très actif. Une étude systématique des distributions (pas nécessairement intégrables) a été récemment lancée en utilisant des outils plus élaborés de faisceaux qui n'ont pas encore été étudiés par des auteurs précédents. Une classification complète des distributions de code 1 et de classe 2 dans l'espace projeté de dimension 3 a déjà été obtenue, tandis qu'une classification partielle des feuilletages de codimension 2 et de degré inférieur ou égal à 3 a été réalisée, ainsi qu'une description de leurs espaces de modules. Dans ce projet, nous nous concentrerons sur le feuillage des courbes dans des variétés de Fano de dimension 3 et plus. Une classification complète des feuillages de par les courbes de degré 1 a déjà été donnée dans l'espace projectif à trois dimensions ; nous avons noté que cette classification suggère une description complète des distributions de dimension 1 et de degré 2 dans l'espace projectif tridimensionnel. Nous prévoyons maintenant de fournir une classification complète des feuilletages en courbes de degré 2, en étendant la classification partielle existante, et de progresser dans la classification en degré supérieur. Nous prévoyons également de décrire les composants irréductibles des espaces de modules des feuilletages en courbes de degré inférieur ou égal à 3. En outre, il serait intéressant d'étudier les feuilletages dans d'autres variétés de dimension 3 et plus notamment des variétés de Fano, où ces méthodes pourraient s'appliquer plus généralement. Enfin nous préconisons une application de ces méthodes aux variétés rationnelles homogènes, en les combinant avec des outils de théorie des représentations.

The theory of distributions and foliations has its origins in the 19th century by mathematicians like Grassman, Jacobi, Clebsch, Cartan and Frobenius. These were motivated by the fundamental work of Pffaf, who proposed a geometric approach to the study of differential equations. The qualitative study of foliations induced by polynomials was investigated by Poincaré, Darboux, Painlevé. In modern terms, this corresponds to the study of holomorphic foliations of codimension 1 in complex projective spaces. The classification and description of 1 codimension foliation spaces in projective spaces, which are induced by 1-polynomial differential forms, were initiated by Jouanolou (degrees 0 and 1) and Cerveau and Lins Neto (degree 2). This is still a very active area of research. A systematic study of distributions (not necessarily integrable) was more recently started using more elaborate sheave tools that have not yet been studied by previous authors. A complete classification of distributions of codimension 1 and 2 in the 3-dimensional projective space has already been obtained, while a partial classification of codimension 2 foliations and degree less than or equal to 3 has been made, along with a description of their module spaces. In this project, we will focus on the foliations by curves on Fano varieties. A complete classification of foliations by curves of degree 1 has already been given; we observed that this classification showed great importance for the complete classification of distributions of codimension 1 and 2 in three-dimensional projective space. We now intend to provide a complete classification of foliations by curves of degree 2, extending the existing partial classification, and advancing in the classification of foliations by higher degree curves. We also expect to describe the irreducible components of the moduli spaces of foliations by curves of degree less than or equal to 3. In addition, it would be interesting to study foliations in other varieties of dimension 3, especially 3-varieties Fano, perfecting already existing results, and further extend these results to higher dimensional Fano varieties. Finally, we will study how to classify foliations by curves on rational homogeneous spaces.