Résolution d'EDP par régression par processus gaussiens informés par la physique

Resolution of PDEs by physics-informed Gaussian process regression

• Auteur / Autrice : Adrian Padilla segarra
• Direction : Pascal Noble, Eric Savin
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Inscription en doctorat le 01/11/2023
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : IMT- Equipe Equations aux Dérivées Partielles
• Partenaire(s) de recherche : établissement délivrant conjointement le doctorat : Institut national des sciences appliquées (Toulouse ; 1961-....)

Mots clés

Mots clés libres

Régression par processus gaussiens

Assimilation de données

Équations aux dérivées partielles

Analyse numérique

Gaussian process regression

Data assimilation

Partial differential equations

Numerical analysis

Résumé

Parmi les différentes méthodes d'apprentissage et d'approximation qui se sont développées de manière intensive cette dernière décennie, les méthodes à noyaux du type krigeage, ou régression par processus gaussien, offrent différents avantages en termes d'analyse théorique, mise en œuvre numérique, régularisation, convergence, automatisation, ou encore interprétabilité. En effet, le cadre mathématique du théorème du représentant et des espaces de Hilbert à noyau reproduisant constitue une base solide pour l'analyse numérique des modèles prédictifs construits par ces méthodes. Elles sont par ailleurs bien connues pour leurs excellentes performances sur les problèmes de grande taille présentant néanmoins un certain degré de parcimonie, l'apprentissage permettant de sélectionner parmi les exemples disponibles ceux qui sont importants. Ces méthodes ont été mises en œuvre pour des problèmes d'apprentissage automatique, de reconnaissance de formes, de traitement du signal, et plus récemment d'approximation numérique des solutions d'équations aux dérivées partielles (EDP) linéaires et non linéaires, en régimes stationnaire et transitoire. C'est à ces derniers développements que l'on souhaite s'intéresser dans cette recherche, motivé par les travaux autour d'EDP semi-discrétisées en temps par des schémas d'Euler ou de Runge-Kutta, et ceux autour des approches pilotées par les données, par exemple observations des solutions en certains points. La précision de ces méthodes dépend toutefois du choix d'un noyau, et la question de sa sélection se pose. On s'intéressera donc plus particulièrement dans cette thèse à la construction du meilleur noyau possible, au sens d'une métrique à étudier, pour la résolution numérique d'EDP linéaires ou non linéaires en dynamique des fluides et/ou des structures. Cette construction sera fondée sur la physique sous-jacente des phénomènes étudiés et devra également être capable d'assimiler les mesures éventuellement disponibles.

Among the different learning and approximation methods that have been intensively developed over the last decade, kriging-type kernel methods, or Gaussian process regression, offer different advantages in terms of theoretical analysis, numerical implementation, regularization, convergence, automation, or even interpretability. Indeed, the mathematical framework of the representer theorem and reproducing kernel Hilbert spaces constitutes a solid basis for the numerical analysis of the predictive models constructed by these methods. They are also well known for their excellent performance on large problems, which nevertheless present a certain degree of sparsity, and where learning techniques allow to select those examples which are important among the available ones. These methods have been implemented for problems of machine learning, pattern recognition, signal processing, and more recently for numerical approximation of solutions of linear and nonlinear partial differential equations (PDEs), in stationary and transient regimes. We aim to focus on these latest developments in this thesis, motivated by the works around PDEs semi-discretized in time by Euler or Runge-Kutta schemes, and by data-driven approaches, for example observations of solutions at certain points. The accuracy of these methods, however, depends on the choice of a kernel, and the question of its selection arises. We will therefore be particularly interested in this thesis in the construction of the best possible kernel, in the sense of a metric to be studied, for the numerical solution of linear or non-linear PDEs in fluid dynamics and/or structures. This construction will be based on the underlying physics of the studied phenomena and must also be capable of assimilating any measurements that may be available.