Thèse en cours

Espaces adéliques rigides sur les corps de fonctions

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Auteur / Autrice : Florian Tilliet
Direction : Eric Gaudron
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
Date : Inscription en doctorat le 01/02/2024
Etablissement(s) : Université Clermont Auvergne (2021-...)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal (Aubière ; 1996-....)

Résumé

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Les minima successifs d'un réseau de R^n forment la charpente de la géométrie des nombres de Minkowski. Récemment É. Gaudron et G. Rémond ont étendu cette notion de minima aux espaces adéliques rigides définis sur une extension algébrique du corps des nombres rationnels. Ils ont pu établir des analogues des théorèmes de Minkowski pour les corps K — dit de Siegel — vérifiant la propriété suivante : il existe un nombre réel M>0 tel que, pour tout triplet non nul (a,b,c) de K^3, il existe (x,y,z) dans K^3, non nul, avec ax+by+cz=0 et H(x,y,z)<M H(a,b,c)^{1/2} où H est la hauteur standard sur K^3 (elle mesure la taille des triplets). Par exemple les corps de nombres et le corps des nombres algébriques sont des corps de Siegel. Par ailleurs, les travaux de Roy et Thunder ont montré que l'on avait un analogue des théorèmes de Minkowski sur les extensions algébriques finies de F(T) où F est un corps fini. L'objectif de la thèse est de définir une notion d'espaces adéliques rigides sur les extensions algébriques de F(T) puis d'étudier les minima associés. Que serait un « corps de Siegel » dans ce cadre ? Des applications à l'approximation diophantienne seraient alors également à explorer.