Sur la géométrie des variétés hyperboliques tridimensionelles aléatoires

On the geometry of random hyperbolic 3-manifolds

• Auteur / Autrice : Anna Roig Sanchis
• Direction : Bram Petri
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/10/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Naud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anton Zorich, Joan Porti
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jessica Purcell, Nalini Anantharaman

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie aléatoire

Poisson, Processus de

Graphes aléatoires

Variétés à 3 dimensions

Géométrie hyperbolique

Mots clés libres

Géométrie hyperbolique

Variétés tridimensionelles

Géométrie aléatoire

Graphes réguliers aléatoires

Spectre des longueurs

Processus de Poisson

Hyperbolic geometry

3-Manifolds

Random geometry

Random regular graphs

Length spectrum

Poisson point process

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la géométrie des variétés tridimensionnelles (3-variétés) hyperboliques typiques, lorsque leur volume tend vers l'infini. Pour cela, nous considérons un modèle de 3-variétés hyperboliques aléatoires, appelé triangulations aléatoires. Il s'agit des variétés compactes à bord construites en collant aléatoirement des tétraèdres tronqués le long de leurs faces.Nous prouvons que, lorsque le volume tend vers l'infini, leur spectre des longueurs converge en distribution vers un processus ponctuel de Poisson sur ℝ>0, d'intensité calculable λ.Nous étudions également la systole, c'est-à-dire, le premier élément du spectre des longueurs. Plus précisément, nous montrons que la limite, lorsque le volume tend vers l'infini, de l'espérance de la systole de ces variétés existe, et nous en donnons une formule fermée. De plus, nous calculons une approximation numérique de cette valeur.L'idée générale derrière les preuves est de comprendre la combinatoire du complexe composé de tétraèdres tronqués, et ensuite d'en déduire ses propriétés géométriques. Ces propriétés combinatoires sont (presque toutes) contenues dans le graphe dual du complexe. Ainsi, la plupart des arguments dans ces preuves combinent des résultats provenant de la géométrie hyperbolique, de la théorie des graphes aléatoires et de la théorie des probabilités.

In this thesis, we study the geometry of typical hyperbolic 3-manifolds, as their volume goes to infinity. To do so, we consider a model for random hyperbolic 3-manifolds, called random triangulations. These are compact manifolds with boundary constructed by randomly gluing truncated tetrahedra along their faces.We prove that, as the volume tends to infinity, their length spectrum converge in distribution to a Poisson point process on ℝ>0, with computable intensity λ.We also study the systole, that is, the first element of the length spectrum. More precisely, we show that the limit, as the volume tends to infinity, of the expected value of the systole of these manifolds exists, and we give a closed formula of it. Moreover, we compute a numerical approximation of this value.The general idea behind the proofs is to understand the combinatorics of the complex made of truncated tetrahedra, and then infer from these its geometric properties. These combinatorial properties are (almost all) contained in the dual graph of the complex. Hence, most of the arguments in these proofs combine results coming from hyperbolic geometry, random graph theory, and probability theory.