Analyse d'algorithmes quantiques variationnels pour la résolution d'équations différentielles en présence de bruit quantique : application à l'équation de Gross-Pitaevskii stationnaire

Analysis of variational quantum algorithms for differential equations in the presence of quantum noise: application to the stationary Gross-Pitaevskii equation

• Auteur / Autrice : Michel Serret
• Direction : Laurent Boudin, Yvon Maday, Thomas Ayral
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 08/11/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions
• Jury : Président / Présidente : Virginie Ehrlacher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Boudin, Nana Liu, Anthony Nouy, Yvon Maday, Thomas Ayral, Elvira Shishenina, Marie Postel
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Nana Liu, Anthony Nouy

Mots clés

Mots clés libres

Quantique

Résolution numérique

Équations différentielles

Analyse numérique

Informatique quantique

Quantum

Numerical resolution

Differential equations

Numerical analysis

Quantum computing

Résumé

Les algorithmes quantiques variationnels (VQAs) ont été proposés pour la résolution d'équations différentielles partielles sur des ordinateurs quantiques bruités. Cette thèse se concentre sur l'analyse des VQAs pour l'équation stationnaire de Gross-Pitaevskii (GPE), à la fois dans des conditions idéales (sans bruit) et en présence de bruit quantique, en fournissant des bornes d'erreur, des propriétés de convergence et des estimations du nombre d'échantillons nécessaires. Un concept central de cette thèse consiste en l'utilisation de la relation entre la représentation des fonctions et des opérateurs fonctionnels sur les rationnels dyadiques, via la base de Walsh, et l'encodage des fonctions et des opérateurs pour des systèmes quantiques à N qubits à travers les opérateurs de Pauli et leurs états propres. Dans le chapitre 1, nous relions les opérateurs de Pauli des systèmes quantiques à $N$ qubits avec la base de Walsh sur les rationnels dyadiques à $N$ bits, en présentant de nouvelles bornes d'erreur pour la convergence de la série de Walsh à $N$ bits pour les fonctions dans $H^1(0,1)$ et en présentant quelques résultats sur la représentation des fonctions de la base de Fourier dans la base de Walsh. Dans le chapitre 2, nous analysons les VQAs pour la GPE sans bruit, en détaillant le cadre mathématique, la discrétisation et l'analyse a priori de l'erreur. Nous introduisons de nouveaux estimateurs d'énergie, soit basés sur la décomposition de Walsh des opérateurs, soit obtenus par des méthodes inductives, et nous les comparons à l'échantillonnage direct, dans la base diagonale des opérateurs, et à la méthode du test de Hadamard. Nos résultats montrent qu'en l'absence de bruit, les méthodes les plus prometteuses pour l'estimation de l'énergie sont l'échantillonnage direct dans la base diagonale, offrant la plus faible variance et les besoins en échantillons les plus faibles. Dans le chapitre 3, nous examinons plus en détail l'impact du bruit quantique sur l'estimation de l'énergie. Le bruit dépolarisant introduit un biais et modifie la variance des estimateurs. Nous montrons que les estimateurs de Pauli sont les moins affectés par le bruit, en raison de la taille réduite des circuits nécessaires, surpassant les autres, à la fois sans mitigation, en raison d'un biais plus faible, et avec mitigation, car leur efficacité en termes d'échantillons est moins affectée. Cette recherche fournit une base pour l'utilisation des VQAs pour résoudre des équations différentielles partielles sur des ordinateurs quantiques, offrant des estimations réalistes des coûts computationnels de la partie estimation de l'énergie des algorithmes. De plus, les connaissances acquises peuvent contribuer au développement d'algorithmes quantiques pratiques pour l'encodage en blocs des opérateurs différentiels et de leurs opérateurs d'évolution associés.

Variational quantum algorithms (VQAs) have been proposed for solving partial differential equations on quantum computers. This thesis focuses on analyzing VQAs for the stationary Gross-Pitaevskii Equation (GPE) both under ideal (noiseless) conditions and in the presence of quantum noise, providing error bounds, convergence properties, and estimates for the number of samples required. A central concept, make use of a relationship between the representation of functions and functional operators on dyadic rationals, through the Walsh basis, and the encoding of functions and operators for $N$-qubit quantum systems through the Pauli operators and their eigenstates. In chapter 1, we link Pauli operators of $N$-qubit quantum systems with the Walsh basis on $N$-bit dyadic rationals, presenting new error bounds for the convergence of the $N$-bit Walsh series for functions in $H^1(0,1)$ and presenting some results on the representation of Fourier basis functions in the Walsh basis. In chapter 2 we analyse VQAs for the GPE without noise, detailing the mathematical setting, discretization, and a-priori analysis. We introduce new energy estimators, either based on the Walsh decomposition of operators or obtained through inductive methods, and compare them to direct sampling, in the diagonal basis of the operators, and the Hadamard-test method. Our results show that in the absence of noise the most promising methods for energy estimation is direct sampling in the diagonal basis, yielding the lowest variance and sample requirements. In chapter 3, we further examine the impact of quantum noise on energy estimation. Depolarizing noise introduces bias and shifts the variance of estimators. We show that the Pauli estimators proves least affected by noise, due to their lower circuit size requirement, outperforming others both without mitigation, due to a lower bias, and with mitigation, as its sample efficiency is less affected. %In the last chapter, devoted to work in progress, we present some preliminary results on decomposing %differential operators in the Pauli basis which allow us to improve the method in the presence of noise. This research provides a foundation for the use of VQAs to solve partial differential equations on quantum computers, offering realistic estimates of computational costs of the energy estimation part of the algorithms. Furthermore, the insights gained may aid in the development of practical quantum algorithms for block encoding of differential operators, and their associated evolution operators.