Autour de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson pour une classe transcendante

On the Yau-Tian-Donaldson Conjecture for a transcendental class

• Auteur / Autrice : Pietro Mesquita-Piccione
• Direction : Sébastien Boucksom, Tat Dat Tô
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/10/2025
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Biquard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tamas Darvas, Eveline Legendre, Vlere Mehmeti
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ruadhaí Dervan, Chi Li
• DOI : 10.70675/708b54fbz3d3cz40b3zbcd3zcb7b275beb48

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés kählériennes

Variétés de Calabi-Yau

Équations de Monge-Ampère

Géométrie différentielle

Mots clés libres

Géométrie complexe

Métriques canoniques

Géométrie de Kahler

Complex Geometry

Canonical metrics

Kahler Geometry

Résumé

L'objectif principal de cette thèse est d'étudier la direction réciproque de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson dans le cas d'une classe de Kähler générale, sans supposer qu'elle soit rationnelle. C'est-à-dire, de prouver que la notion appropriée de K-stabilité dans ce cadre implique l'existence d'une métrique de Kähler à courbure scalaire constante. Plus précisément, la thèse introduit une notion renforcée de K-stabilité pour les variétés de Kähler, appelée Kb-stabilité, et établit un critère valuatif pour cette dernière, analogue à ceux connus en géométrie algébrique projective. La thèse développe une théorie non- archimédienne pour les variétés complexes compactes non algébriques, construisant un espace topologique de valuations et étudiant ses propriétés fondamentales, notamment la densité d'un sous-ensemble naturel de valuations associées à des diviseurs sur X, appelées valuations divisorielles.Sur cette base, la thèse construit la théorie pluripotentielle non-archimédienne asso- ciée aux variétés de Kähler compactes : elle définit des fonctions plurisousharmoniques non-archimédiennes, établit une comparaison détaillée avec la théorie pluripotentielle classique (y compris la démonstration des formules de pente pour les fonctionnels d'énergie), et prouve l'existence de solutions à l'équation de Monge-Ampère non-archimédienne, généralisant ainsi un résultat de Boucksom-Favre-Jonsson. L'analyse approfondie de cette théorie pluripotentielle non-archimédienne permet en- suite de relier le fonctionnel de Mabuchi non-archimédien à la K-énergie analytique et de montrer que la Kb-stabilité implique l'existence de métriques de Kähler à courbure scalaire constante, généralisant un résultat de Chi Li. De plus, la résolution de l'équation de Monge-Ampère non-archimédienne permet de démontrer le critère valuatif pour la Kb-stabilité, tel qu'établi par Boucksom et Jonsson dans le cadre projectif.

The main objective of this thesis is to investigate the converse direction of the Yau- Tian-Donaldson conjecture for a general Kähler class, without assuming it to be rational. It aims to prove that a suitable notion of K-stability in this setting implies the existence of a Kähler metric with constant scalar curvature. More precisely, the thesis introduces a strengthened notion of K-stability for Kähler manifolds, called Kb -stability, and establishes a valuative criterion for it analogous to those known in projective algebraic geometry. It develops a non-Archimedean theory for compact complex non-algebraic manifolds by constructing a topological space of valuations and studying its fundamental properties, notably the density of a natural subset of valuations associated to divisors over X, known as divisorial valuations. Building on this, the thesis constructs the non-Archimedean pluripotential theory associated with compact Kähler manifolds: it defines non-Archimedean plurisubharmonic functions, provides a detailed comparison with classical pluripotential theory (including the proof of slope formulas for energy functionals), and proves the existence of solutions to the non-Archimedean Monge-Ampère equation, thereby generalizing a result of Boucksom- Favre-Jonsson. An analysis of this non-Archimedean pluripotential theory then relates the non-Archimedean Mabuchi functional to the analytic K-energy and shows that Kb-stability implies the existence of constant scalar curvature Kähler metrics, extending a result of Chi Li. Furthermore, the resolution of the non-Archimedean Monge-Ampère equation enables the proof of the valuative criterion for Kb-stability, as established by Boucksom and Jonsson in the projective setting.