Vers une nouvelle génération d'algorithmes pour le calcul de bases de Gröbner

Towards a new generation of Gröbner bases algorithms for polynomial system solving

• Auteur / Autrice : Robin Kouba
• Direction : Mohab Safey el din
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris (1992-...)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIP6

Mots clés

Mots clés libres

Algorithmes

Systèmes polynomiaux

Bases de Gröbner

Algorithms

Polinomial systemes

Gröbner basis

Résumé

La résolution des systèmes polynomiaux multivariés est un enjeu dans des domaines variés comme la robotique ou la cryptographie. Le calcul de bases de Gröbner est une des méthodes principales de résolution des systèmes polynomiaux multivariés. En effet, dans le cas générique, ce calcul permet d'obtenir un système qui a les mêmes solutions et dont la résolution est facile, puisqu'elle se ramène au cas d'une seule variable et une seule équation. Le premier algorithme à calculer les bases de Gröbner a été introduit par Buchberger en 1965. En 1983, l'algorithme de Lazard utilise l'élimination de Gauss sur des matrices de Macaulay. En 1998, Faugère invente un algorithme appelé F4 qui combine les idées des deux algorithmes précédents et qui en pratique est bien plus rapide. Enfin, en 2002, Faugère propose un algorithme appelé F5 qui est plus efficace, car il manipule des matrices plus petites, grâce à un nouveau critère de détection de lignes inutiles dans les matrices de Macaulay. Un des points fondamentaux dans la conception d'algorithmes rapides comme ceux de Lazard et Faugère est l'étude des espaces vectoriels générés par les lignes des matrices mises en jeu. L'approche de cette thèse est de travailler avec des matrices dont les entrées sont des polynômes univariés et d'étudier les espaces engendrés par les lignes de telles matrices. D'un côté, les matrices contiennent des polynômes à une variable, ce qui complique les calculs par rapport aux algorithmes cités où les matrices sont constantes. Mais comme la taille des matrices est également réduite, il est attendu que cette approche permette d'améliorer la complexité du calcul de base de Gröbner, ce qui est l'objectif principal de la thèse. La première année sera dédiée à l'adaptation de l'algorithme de Lazard. La deuxième année concernera l'algorithme F4 et la troisième l'algorithme F5. Pour chaque algorithme, il s'agira de l'adapter aux matrices polynomiales univariées, étudier la complexité théorique, l'implémenter en Julia et le comparer en pratique aux algorithmes classiques qui sont optimisés sur ce langage.

Solving multivariate polynomial systems is a significant challenge in various fields such as robotics or cryptography. Computing Gröbner bases is one of the primary methods for solving multivariate polynomial systems. Indeed, in the generic case, this provides a system with the same solutions and whose resolution is straightforward as it reduces to the case of a single variable and a single equation. The first algorithm to compute Gröbner bases was introduced by Buchberger in 1965. In 1983, Lazard's algorithm used Gaussian elimination on Macaulay matrices. In 1998, Faugère invented an algorithm called F4, which combines the ideas of the two previous algorithms and is significantly faster in practice. Finally, in 2002, Faugère proposed an algorithm called F5, which is more efficient because it manipulates smaller matrices, thanks to a new criterion for detecting redundant rows in the Macaulay matrices. One of the fundamental aspects in designing fast algorithms like those of Lazard and Faugère is the study of vector spaces generated by the rows of the involved matrices. The approach of this thesis is to work with matrices whose entries are univariate polynomials and to study the spaces generated by the rows of such matrices. On one hand, the matrices contain single-variable polynomials, which complicates the calculations compared to the mentioned algorithms, where the matrices are constant. However, since the size of the matrices is also reduced, it is expected that this approach will improve the complexity of Gröbner basis computation, which is the main objective of the thesis. The first year will be dedicated to adapting Lazard's algorithm. The second year will focus on the F4 algorithm, and the third year on the F5 algorithm. For each algorithm, the goal will be to adapt it to univariate polynomial matrices, study the theoretical complexity, implement it in Julia, and compare it in practice to classical algorithms that are optimized for this language.