Sur l'effectivité et la géométrie des variétés déterminantielles

The effective algebraic geometry of determinantal varieties

• Auteur / Autrice : Sriram Gopalakrishnan
• Direction : Ludovic Perret, Éric Schost, Vincent Neiger
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 08/09/2026
• Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec Université de Waterloo
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIP6
• Jury : Président / Présidente : Laurent Buse
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gregory Smith, Carlos D'andrea, Emre SERTöZ, Stephen Melczer, Vincent Neiger, Éric Schost
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Laurent Buse, Gregory Smith

Mots clés

Mots clés libres

Calcul formel

Mathematiques et leur interactions

Complexité

Hauteurs

Computer algebra

Mathematics and interactions

Complexity

Heights

Résumé

Les objets centraux de cette thèse sont des variétés définies par une chute de rang dans des matrices à entrées polynomiales, appelées « variétés déterminantielles ». Nous abordons les questions effectifs relatives à ces variétés sous deux angles distincts. La première partie de cette thèse porte sur des résultats dans le modèle de complexité arithmétique, où les opérations de base sur les corps ont un coût unitaire. À partir de résultats classiques sur les résolutions libres d'idéaux déterminantiels, nous extrayons des informations sur les modules des syzygies des idéaux déterminantiels, et utilisons ces informations pour adapter des algorithmes existant de bases de Gröbner généralistes aux idéaux déterminantiels. Cela nous conduit à de nouveaux algorithmes permettant de résoudre des systèmes déterminantiels d'équations polynomiales zéro-dimensionnels et des problèmes d'optimisation polynomiale. Nous analysons la complexité de nos algorithmes et démontrons ainsi qu'ils constituent une avancée par rapport à l'état de l'art. Le problème central abordé dans la deuxième partie de cette thèse consiste à borner les hauteurs des variétés déterminantielles. À l'aide de nouvelles constructions en géométrie intégrale arithmétique, nous donnons des valeurs exactes pour les mesures de Mahler des résultants déterminantiels. En y associant un analogue déterminantiel du $u$-résultant standard, cela nous permet de borner les hauteurs des formes de Chow des variétés déterminantielles.

The central objects of study in this thesis are varieties defined by rank deficiencies of matrices with polynomial entries, which are known as determinantal varieties. We consider effective questions about these varieties from two distinct perspectives. The first part of this thesis concerns computational results in the arithmetic complexity model, where basic field operations have unit cost. From classical results on free resolutions of determinantal ideals, we extract information about the syzygy modules of determinantal ideals, and use this information to adapt existing general-purpose Gr''obner basis algorithms to determinantal ideals. This leads us to new algorithms to solve zero-dimensional determinantal polynomial systems and polynomial optimisation problems. We give complexity analyses of our algorithms, and in so doing, show that they improve upon the state-of-the-art. The central problem considered in the second part of this thesis is to bound heights of determinantal varieties. By way of new constructions in arithmetic integral geometry, we give exact values for Mahler measures of determinantal resultants. Coupled with a determinantal analogue of the standard $u$-resultant, this enables us to bound heights of Chow forms of determinantal varieties.