Dualité et points rationnels des groupes algébriques sur des corps de fonctions de caractéristique positive.

Duality and rational points of algebraic groups over positive characteristic function fields

• Auteur / Autrice : Antoine Galet
• Direction : Cyril Demarche
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Topologie et Géométrie Algébrique

Mots clés

Mots clés libres

Principe de Hasse

Espaces homogènes

Caractéristique non nulle

Cohomologie étale

Hasse principle

Homogeneous spaces

Positive characteristic

Etale cohomology

Résumé

Si Y est une variété algébrique sur Q, une question centrale en arithmétique est de déterminer si Y a des points rationnels, et alors d'estimer la taille de l'ensemble Y(Q). Une méthode historique importante est l'approche locale-globale : on compare Q à ses complétés, les corps p-adiques Qp pour tout premier p et le corps des réels, arithmétiquement bien plus simples. L'existence d'un point rationnel global (ie sur Q) implique l'existence de points locaux (sur R et chaque corps p-adique) ; on dit que le principe de Hasse ou principe local-global est vérifié (pour une famille de variétés) quand la réciproque est vraie. On peut aussi étudier l'approximation faible, ie la densité de Y(Q) dans le produit des Y(Qp). Dans les années 1920, Hasse et Minkowski montrent que les quadriques projectives vérifient le principe de Hasse et l'approximation faible. Ces variétés sont des espaces homogènes de groupes algébriques, on peut donc chercher des généralisations pour des espaces homogènes arbitraires. En 1970, Manin a introduit une obstruction naturelle au principe de Hasse et à l'approximation faible : l'obstruction de Brauer-Manin, quantifiée par le groupe de Brauer, un groupe de cohomologie étale introduit par Grothendieck. En 1996, Borovoi démontre une vaste généralisation du théorème de Hasse-Minkowski : l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse et à l'approximation faible est la seule, pour les espaces homogènes de groupes algébriques, à stabilisateurs connexes. Si X est une courbe projective lisse sur un corps F et K=F(X) son corps de fonctions (par exemple, K = F(t) si X est la droite projective), on peut aussi se poser des questions locales-globales en comparant K et les complétés de K pour les places associées aux points fermés de X. Par les travaux de nombreux auteurs, on sait aujourd'hui que si G est semi-simple simplement connexe, F parfait de dimension cohomologique au plus 1, et Y un G-espace principal homogène, alors Y a des points rationnels (c'est un cas de la conjecture II de Serre). Récemment, de nombreuses études ont été menées sur le principe de Hasse et l'approximation faible pour des espaces homogènes sur K=F(X) lorsque F est de caractéristique nulle, et complet pour une valuation discrète ou algébriquement clos : par exemple R, C, Qp, C((t)). Les principaux résultat (dus notamment à Benoist, Colliot-Thélène, Ducros, Gille, Harari, Izquierdo, Lucchini-Arteche, Parimala, Scheiderer, Suresh, Szamuely, Wittenberg, Zhang) peuvent se résumer ainsi : si G est un groupe linéaire connexe sur un tel corps K, alors le défaut du principe de Hasse pour les G-espaces homogènes à stabilisateurs connexes est contrôlé par un groupe de cohomologie étale de X ou K, via une obstruction dite de réciprocité. Dans un travail récent généralisant des résultats antérieurs de plusieurs auteurs, Demarche et Harari montrent que l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse et à l'approximation faible est la seule, pour les espaces homogènes de groupes réductifs à stabilisateurs connexes, sur des corps globaux de caractéristique positive (K=F(X) avec F fini), analogue du résultat de Borovoi en caractéristique positive. Le sujet de la thèse est alors d'étudier des variantes en caractéristique positive des résultats sur les corps de fonctions mentionnés auparavant. Un premier cas intéressant serait celui des tores sur des corps du type F((x, y)), F((x))(y) ou F(x), pour F fini ou algébriquement clos. L'approche envisagée consiste à chercher des théorèmes de dualité (locale et globale) sur ces corps en cohomologie fppf (et non plus étale) pour des schémas en groupes finis et plats sur un ouvert de X, puis des applications pour les points rationnels des espaces homogènes de tores. Ensuite, on pourra s'intéresser à des généralisations aux torseurs de groupes réductifs, voire à des espaces homogènes. À plus long terme, l'arithmétique des groupes pseudo-réductifs sur ces corps imparfaits est un prolongement naturel à ces questions.

One of the main concerns of arithmetic is to determine wether some algebraic variety Y over Q has rationnal points, and in that case to estimate the size of Y(Q). One historically important method is the local-global approach, consisting in comparing Q to its completions, the real field and p-adic numbers fields Qp for prime p, which behave better for arithmetic. The existence of global rational points (ie over Q) implies that of local points (over R and the p-adics) ; one says the Hasse or local-gobal principle holds (for a family of varieties) if the converse is true. One may also study weak approximation, that is wether Y(Q) is dense in the product of the Y(Qp). In the 1920's, Hasse and Minkowski proved that the Hasse principle and weak approximation hold for projective quadrics. As those are homogeneous spaces of algebraic groups, one may look to generalize this result to arbitrary homogeneous spaces. In 1970, Manin introduced a natural obstruction to the Hasse principle and weak approximation : the Brauer-Manin approximation, determined by the Brauer group, an etale cohomology groupe defined by Grothendieck. In 1996, Borovoi generalized the Hasse-Minkowski theorem : the Brauer-Manin obstruction to the Hasse principle and weak approximation is the only one, for homogeneous spaces of algebraic groups with connected stabilizers. If X is a smooth projective curve over a field F and K=F(X) is its function field (eg K=F(t) if X is the projective line), we also have local-global questions by comparing K to its completions relative to the places at closed points of X. Thanks to many authors, we now know that if G is semi-simple simply connected, F perfect with cohomological dimension at most 1, and Y is a principal homogeneous G-space, then Y has rationnal points (a special case of Serre's conjuecture II). Recently, several studies were conducted on the Hasse principle and weak approximation for homogeneous spaces over K=F(X) for F complete or algebraically closed, with characteristic zero, such as R, C, Qp, C((t)). The main results (due in part to Benoist, Colliot-Thélène, Ducros, Gille, Harari, Izquierdo, Lucchini-Arteche, Parimala, Scheiderer, Suresh, Szamuely, Wittenberg, Zhang) say that if G is a linear connected group over such a field K, then the failure of the Hasse principle and weak approximation is controlled by an etale cohomology group of X or K, using a reciprocity obstruction. In a recent work generalizing several previous authors, Demarche and Harari showed that the Brauer-Manin obstruction to the Hasse principle and weak approximation is the only one for homogeneous spaces of reductive groups with connected stabilizers over positive characteristic global fields (K=F(X) with finite F), a positive characteristic version of Borovoi's result. The subject of the thesis is thus to study positive caracteristic versions of the aforementioned results on zero characteristic function fields. An interesting first case would be that of tori ove fields such as F((x,y)), F((x))(y) or F(x), for F finite or algebraically closed. The suggested approach is to first research (local and global) duality theorems for fppf cohomology (rather than etale) over those fields, for finite flat group schemes over opens of X, and then find applications to rational points of homogeneous spaces for tori. A natural follow-up would concern generalizations to torsors or even homogeneous spaces of reductive groups, and even to pseudo-reductive groups over imperfect fields.