Sur les fonctions de hachage orientées vers l'arithmétisation

On Arithmetization-Oriented Hash Functions

• Auteur / Autrice : Aurélien Boeuf
• Direction : Anne Canteaut, Léo Perrin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Date : Soutenance le 29/04/2026
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Centre de recherche de Paris (Paris) (2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Henri Gilbert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Magali Bardet, Vincent Neiger, Christian Rechberger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Augot, Carlos Cid
• DOI : 10.70675/56ca83a0z578bz4683z9422zb3e0bd27c77e

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cryptographie

Primitives (mathématiques)

Élimination (algèbre)

Bases de Gröbner

Corps finis

Mots clés libres

Cryptographie

Symétrique

Arithmétisation

Bases de Gröbner

Résultants

Zero-Knowledge

Cryptography

Symmetric

Arithmetization

Groebner Bases

Resultants

Zero-Knowledge

Résumé

Récemment, nous avons assisté à une multiplication des protocoles de sécurité avancés basés sur les techniques Zero-Knowledge (ZK), Multi-Party Computation (MPC) et Fully-Homomorphic Encryption (FHE). Ces protocoles nécessitent souvent des primitives symétriques de base, telles que des chiffrements par blocs et des fonctions de hachage. Cependant, les primitives standard telles que AES et SHA-3 n'ont pas été conçues pour ces applications et ne s'intègrent pas bien dans les cadres de ces protocoles avancés : elles sont définies sur de petits corps binaires et, bien qu'efficaces à calculer, leurs circuits ont une représentation arithmétique complexe. En revanche, de nombreux cryptographes ont récemment proposé des primitives dites « orientées vers l'arithmétisation » (AOPs), qui sont définies sur des anneaux spécifiques et des corps finis à caractéristique impaire, ou qui ont des représentations efficaces en circuits arithmétiques dans des contextes spécifiques. En effet, une étape clé dans l'évaluation de ces primitives au sein des différents protocoles est leur « arithmétisation », un processus par lequel un circuit arithmétique est dérivé de la spécification de la primitive. Avec ces nouvelles contraintes, les AOPs finissent par être très différentes à analyser, par rapport aux primitives « classiques ». Notamment, les meilleures attaques utilisent la propagation de structures algébriques (par exemple, les espaces affines) et des méthodes de résolution de systèmes polynomiaux, basées sur des notions de calcul formel telles que les bases de Gröbner et les résultants. Dans cette thèse, nous développons et améliorons les techniques de cryptanalyse de l'état de l'art et proposons de nouveaux algorithmes plus efficaces qui prennent mieux en compte les propriétés des AOP que nous étudions. Nous proposons notamment des attaques théoriques des versions complètes de certaines AOPs. Enfin, nous utilisons l'analyse de la complexité de nos attaques pour décrire une nouvelle approche de conception, qui décrit explicitement le compromis entre performances et sécurité pour ces primitives orientées vers l'arithmétisation.

Recently, there has been a surge of advanced security protocols based on Zero-Knowledge (ZK), Multi-Party Computation (MPC) and Fully-Homomorphic Encryption (FHE) techniques. Such protocols often require basic symmetric primitives, such as block ciphers and hash functions. However, standard primitives such as AES and SHA-3 were not designed with these applications in mind, and they do not integrate well within the frameworks of these advanced protocols: they are defined over small binary fields and, while efficient to compute, their circuits have a complex arithmetic representation. By contrast, many cryptographers have recently proposed so-called Arithmetization-Oriented Primitives (AOPs), that are defined over specific rings and odd-characteristic finite fields, or have simple circuit representations within specific frameworks. Indeed, a key step in the evaluation of these primitives within the various protocols is their ''arithmetization'', a process whereby an arithmetic circuit is derived from the specification of the primitive. With these new design constraints, AOPs end up being very different to analyze, compared to ''classical'' primitives. Notably, the state-of-the-art attacks use the propagation of algebraic structures (e.g. affine spaces) and polynomial system solving methods, based on computer algebra notions such as Gröbner bases and resultants. In this thesis, we expand and improve upon the state-of-the-art cryptanalysis, and propose new, more efficient algorithms that better take into account the properties of the AOPs we study. Notably, we propose some full-round theoretical attacks against some AOPs. Finally, we use the analysis of our attacks' complexities to describe a new approach to design, which explicitly describes the performance/security trade-off for these arithmetization-oriented primitives.