Sur l'induction automorphe pour GL(n)

On automorphic induction for GL(n)

• Auteur / Autrice : Martin Fatou
• Direction : Bertrand Lemaire
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2025
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I2M - Institut de Mathématiques de Marseille
• Jury : Président / Présidente : Anne-Marie Aubert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bertrand Lemaire, Nadir Matringe, Ioan Badulescu, Raphaël Beuzart-plessis, Jean-Pierre Labesse
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nadir Matringe, Ioan Badulescu

Mots clés

Mots clés libres

Représentations groupes réductifs

Formes automorphes

Formule des traces

Representations of reductives groups

Automorphic forms

Trace formula

Résumé

Soient F une extension finie de Qp, E une extension cyclique de F — ou plus généralement une F-algèbre cyclique — de degré fini d et κ un caractère de F× de noyau F×NE/F(E×). On fixe aussi un entier m ≥ 1. On prouve que toute représentation (complexe, lisse) irréductible unitaire de GLm(E) admet un “κ-relèvement” à GLmd(F) déterminé par une identités de caractères. Observons que ce résultat était connu pour les représentations irréductibles unitaires génériques mais est nouveau pour celles qui ne sont pas génériques. Soient maintenant E/F une extension cyclique de corps de nombres de degré fini d et K un caractère de A× F de noyau F×NE/F(A× E). On prouve que toute représentation automorphe discrète τ de GLm(AE) admet une induite automorphe π à GLmd(AF) — caractérisée par le fait qu’en presque toute place finie v de F, πv est l’induite automorphe de τv au sens de la correspondance de Langlands non ramifiée —, qui est l’induite parabolique (irréductible, K-stable) d’une représentation automorphe discrète d’un sous-groupe de Levi de GLmd(AF). On décrit l’image et les fibres de cette application d’induction automorphe globale et on prouve qu’en toute place finie v de F, elle est compatible à l’application de Kv-relèvement locale ; d’ailleurs cette compatibilité est aussi vraie aux places archimédiennes. Observons que ces résultats étaient connus pour les représentations automorphes cuspidales mais sont nouveaux pour les représentations résiduelles. Comme dans le cas du changement de base, on obtient ces résultats par la méthode locale-globale et l’égalité entre les parties discrètes de deux formules des traces, l’une (ordinaire) pour GLm(AE) et l’autre (K-tordue) pour GLmd(AF) ; égalité qui n’est autre que la stabilisation de la partie discrète de la formule des traces pour (GLmd/F,K) établie par Moeglin-Waldspurger. En effet ResE/F(GLm/E) est à isomorphisme près l’unique groupe endoscopique elliptique de (GLmd/F,K). Indépendamment de ces résultats, on prouve aussi de manière purement locale que toute représentation irréductible elliptique de GLm(E) admet un κ-relèvement à GLmd(F).

Let F be a finite extension of Qp, E a cyclic extension of F – or more generally a cyclic F-algebra- of finite degree and κ a character of F* of kernel F×NE/F(E×). We fiw an integer m ≥ 1. We prove that all unitary irreducible representation (smooth, complex) of GLm(E) has a « κ-lift » to GLmd(F) determined by a character identity. This result was known for generic unitary irreducible representations and it is new for the ones who are not generic. Let now be E/F a cyclic extension of numbers fields of finite degree d and K a character of A× F of kernel F×NE/F(A× E). We prove that all discrete automorphic representation τ of GLm(AE) admits an automorphic induced π to GLmd(AF) - characterised by the fact that in almost all finite places v of F, πv is the automorphic induced of τv in the sense of the unramified Langlands correspondence -, which is the parabolic induced (irreducible, K-stable) of a discrete automorphic representation of a Levi subgroup of GLmd(AF). We describe the image and the fibers of this application of global automorphic induction and we prove that in almost all finite place v of F, it is compatible with the application of local Kv-lift. Let observe that these results were known for cuspidal automorphic represention, they are new for residual representations. As for the case of base change, we get these results by the local-global method ans the equality between the discrete parts of two trace formulas, one (ordinary) for GLm(AE), the other (K-twisted) for GLmd(AF); equality which is the stabilisation of discrete part of trace formula for (GLmd/F,K) established by Mœglin-Waldspurger. Independantly, we prove, by a pure local method, that all elliptic irreducible representation of GLm(E) has a κ-lift to GLmd(F).