Simulation de diffusions avec coefficients singuliers

Simulation of diffusions with singular coefficients

• Auteur / Autrice : Julia Budzinski
• Direction : Madalina Deaconu
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 08/01/2024
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM - INFORMATIQUE - AUTOMATIQUE - ELECTRONIQUE - ELECTROTECHNIQUE - MATHEMATIQUES
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : PROBAS STATS

Mots clés

Mots clés libres

Probabilités

Modélisation stochastique

Équations différentielles stochastiques

Schéma d'Euler-Maruyama

Simulation

Probability

Stochastic modeling

Stochastic differential equation

Euler-Maruyama scheme

Simulation

Résumé

Les processus stochastiques qui modélisent le mouvement microscopique des particules à travers des interfaces qui perturbent la dynamique a fait l'objet d'études intenses les dernières années. Du point de vue mathématique, la présence de barrières de différents types se traduit parfois par des singularités. Dans le contexte de la simulation, plusieurs méthodes qui visent à capturer l'effet des singularités ont été développées dans la dernière décennie. La plupart des méthodes sont des méthodes d'approximation basées sur une discrétisation en temps, et les rares méthodes de simulation exacte, dans ce contexte, ne traitent que le cas unidimensionnel. Souvent, les méthodes proposées ne prennent pas en compte les discontinuités qui apparaissent dans les coefficients de diffusions ou il n'y a pas encore des preuves sur la convergence et la vitesse de convergence. En général, les méthodes de simulation exacte sont difficiles à obtenir et elles sont coûteuses en temps de calcul. Le premier but de cette thèse est de développer une méthode novatrice de simulation de diffusions singulières en se basant sur les développements récents des méthodes d'approximation. Plus précisément, il s'agira d'une méthode d'approximation pour une classe de diffusions singulières appelées diffusions à seuil avec des coefficients admettant des sauts. Il pourrait être nécessaire d'étudier les densités de transition des premiers temps d'atteinte. Cela pourrait impliquer de résoudre des équations aux dérivées partielles en utilisant, par exemple, certaines méthodes de réseaux de neurones. L'extension à des processus multidimensionnels, pour lesquels les résultats existants sont rares, sera traitée.

Stochastic processes modeling the microsopic motion of particles across interfaces which perturb the dynamics, have been object of intensive study in the last years. From the mathematical point of view the presence of interfaces of several kind introduces singularities. In the context of simulation, in the last decade, many methods have been developed in order to capture the singularities effects. Most of the methods are time-discretization-based approximation methods, and the very few exact simulation methods treat only the one-dimensional case. Often, the existing methods do not capture the discontinuities concerning the diffusion coefficients or have not been proven to be convergent and how fast they converge. In general, exact simulation methods are difficult to obtain and they are computationally heavy. The first aim of this thesis is to develop an innovative method of simulation of singular diffusions, based on recent development of approximation methods. More specifically, it will be an approximation method for a class of singular diffusions, called threshold diffusions with coefficients admitting jumps. The necessity of studying the transition densities of the first hitting time could emerge. This could imply solving partial differential equations for instance by using some neural-networks techniques. The extension to higher dimension threshold processes for which results are rare will be considered.