Algèbres de Clifford Généralisées

Generalised Clifford Algebras

• Auteur / Autrice : Xuan Bach Nguyen
• Direction : Anne Quéguiner-Mathieu, Baptiste Calmès
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 11/09/2020; Soutenance le 07/12/2023
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)

Mots clés

Mots clés libres

Théorie des catégories

Algèbres de Clifford

Catégories dérivées

Category theory

Clifford algebras

Derived categories

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les algèbres de Clifford généralisées du point de vue de la théorie des catégories (supérieures). Dans le premier chapitre, nous donnons une introduction à la théorie des infini-catégories et à la théorie des lois polynomiales. Dans Chapitre 2, étant donné un morphisme satisfaisant des conditions appropriées, nous construisons l’adjoint à gauche du foncteur image inverse dérivé entre les infini-catégories d’algèbres dans les infini-catégories dérivées quasi-cohérentes. Nous montrons ensuite comment déduire l’existence de l’adjoint à gauche du foncteur image inverse des faisceaux d’algèbres. Dans Chapitre 3, nous définissons d’abord une généralisation de l’algèbre de Clifford de Roby aux lois polynomes à coefficients dans les algèbres non commutatives. Nous globalisons également cette nouvelle algèbre de Clifford aux schémas. Ensuite, nous définissons sa version dérivée, considérée comme une algèbre dans une infini-catégorie dérivée quasi-cohérente, et nous montrons que son faisceau d’homotopie en degré 0 donne l’algèbre de Clifford classique. Enfin, nous établissons un lien entre l’algèbre de Clifford (dérivée) et l’adjoint à gauche construit au Chapitre 2. Plus précisément, nous montrons que pour un fibré projectif sur un schéma de base quasi-compact quasi-séparé, étant donné une algèbre de Clifford (dérivée) d’une forme polynomiale sur la base, nous pouvons trouver une algèbre de Clifford (dérivée) sur le fibré projectif qui est envoyée sur l’algèbre de Clifford de départ sous l’adjoint à gauche du foncteur image inverse (dérivé)

In this thesis, we study generalized Clifford algebras from the point of view of (higher) category theory. In the first chapter, we give an introduction to the theory of infinity-categories and the theory of polynomial laws. In Chapter 2, along morphisms of schemes satisfying appropriate conditions, we construct the left adjoint of the derived pullback functor between the infinity-categories of algebras in quasi-coherent derived infinity-categories. We then show how to deduce the existence of the left adjoint of the pullback of sheaves of algebras. In Chapter 3, we first define a generalization of Roby’s Clifford algebra to polynomial laws with coefficients in non-commutative algebras. We also globalize this new Clifford algebra to schemes. Subsequently, we define its derived version, considered as an algebra in a quasi-coherent derived infinity-category, and show that its zeroth homotopy sheaf recovers the (underived) Clifford algebra. Finally, we relate the (derived) Clifford algebra with the left adjoint constructed in Chapter 2. More precisely, we show that for a projective bundle over a quasi-compact quasi-separated base scheme, given a (derived) Clifford algebra of a polynomial form over the base, we can find a (derived) Clifford algebra over the projective bundle which is mapped to the original one under the left adjoint of (derived) pullback functor