Problèmes à frontière libre anisotropiques et flambage des plaques

An anisotropic free boundary problem and the clamped plate problem

• Auteur / Autrice : Emanuele Salato
• Direction : Dorin Bucur, Zucco Davide
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/11/2022
• Etablissement(s) : Chambéry en cotutelle avec Politecnico di Torino
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques

Mots clés

Mots clés libres

Optimisation de la forme

Frontière libre

Formule de monotonie

Shape Optimization

Free Boundary Problem

Monotonicity Formula

Résumé

L'objectif de la thèse de doctorat est l'étude qualitative de nouveaux types de problèmes vectoriels aux frontière libres qui proviennent des problèmes d'optimisation de forme liés aux ph´enom`enes physiques. En général, dans un problème vectoriel à frontière libre plusieurs fonctions d'état, satisfaisant certaines équations aux dérivées partielles, interagissent sur le même domaine géométrique. L'interaction peut être très l´egère (c'est la situation standard), généralement lorsqu'une à travers une condition d'orthogonalité entre les états. Par exemple, dans les problèmes d'optimisation spectrale, lorsque l'on traite de la k-ième valeur propre, alors les premières k fonctions propres obéissent à cette condition. Notre but est d'étudier et de comprendre des interactions plus complexes : cela se produit par exemple en dynamique des fluides lorsque l'inconnu est la vitesse du fluide (donc un vecteur). L'optimisation de forme de la première valeur propre de Stokes est liée à un problème à frontière libre de type vectoriel, où les fonctions d'état interagissent à travers la condition d'incompressibilité.

The objective of the PhD thesis is the qualitative study of new types of vectorial free boundary problems issued from shape optimization problems related to physical phenomena. In general, in a vectorial free boundary problem, several state functions interact on the same geometric domain satisfying some partial differential equations. The interaction may be very light (this is the standard situation), typically when some orthogonality between the states occurs. For instance, in spectral optimization problems, when one deals with the k-th eigenvalue, then the first k eigenfunctions do obey to this condition. Our purpose is to study and understand more complex interactions : this occurs for instance in fluid dynamics when the unknown is the speed of the fluid (so a vector). The shape optimization of the first Stokes eigenvalue comes to a free boundary problem of vectorial type, where the state functions interact across the incompressibility condition.