Des plaques vibrantes: optimisation spectrale pour l'opérateur bilaplacien

On vibrating plates: spectral optimization for the bilaplacian

• Auteur / Autrice : Roméo Leylekian
• Direction : François Hamel, Enea Parini
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2024
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I2M - Institut de Mathématiques de Marseille
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse appliquée
• Jury : Président / Présidente : Dorin Bucur
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Hamel, Pedro Freitas, Gisella Croce, Richard S. Laugesen, Antoine Henrot, Yannick Privat, Enea Parini
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Pedro Freitas, Gisella Croce

Mots clés

Mots clés libres

Bilaplacien

Optimisation spectrale

Optimisation de forme

Inégalités de Faber-Krahn

Bilaplacian

Spectral optimization

Shape optimization

Faber-Krahn inequalities

Résumé

La fréquence principale d’une plaque vibrante serrée aux extrémités peut être modélisée d’un point de vue mathématique par la première valeur propre du bilaplacien avec conditions au bord de Dirichlet. En 1877, Rayleigh conjectura qu’à aire prescrite, la plaque vibrante de plus petite fréquence principale est circulaire. Formellement, cela revient à dire que la boule minimise la première valeur propre du bilaplacien de Dirichlet sous contrainte de volume. En 1995, Nadirashvili puis Ashbaugh et Benguria démontrèrent l’assertion en dimension 2 et 3. Depuis lors, la conjecture de Rayleigh est restée ouverte en dimension d ≥ 4. Dans cette thèse, nous explorons la question sous plusieurs angles. Entre autres, nous montrons que le problème de minimisation de la première valeur propre du bilaplacien est bien posé jusqu’en dimension 8. Nous formulons également des conditions suffisantes de nature variée permettant de démontrer la conjecture. D’autre part, dans la perspective de nouvelles stratégies de preuves, nous exhibons des formules inédites pour la première valeur propre. Enfin, nous étudions des quantités reliées à la première valeur propre, telles que la rigidité torsionnelle biharmonique ou encore la première valeur propre du p-bilaplacien.

A mathematical model for the principal frequency of a vibrating plate with clamped edge is provided by the first eigenvalue of the bilaplacian with Dirichlet boundary conditions. In 1877, Rayleigh conjectured that, upon prescribing the area, the vibrating clamped plate with least principal frequency is circular. Formally, the conjecture claims that the ball minimizes the first eigenvalue of the Dirichlet bilaplacian under volume constraint. In 1995, Nadirashvili and subsequently Ashbaugh and Benguria proved the Rayleigh Conjecture in dimension 2 and 3. Since then, the conjecture has remained open in dimension d ≥ 4. In this thesis, we explore the conjecture from various points of view. Among others, we prove that the problem of minimizing the first eigenvalue of the bilaplacian under volume constraint is well-posed up to dimension 8. We also provide several interesting sufficient conditions of diverse nature for the conjecture to hold. Besides, in view of new approaches, we investigate different formulations for the first eigenvalue. Lastly, we analyse quantities related to the first eigenvalue such as the biharmonic torsional rigidity and the first eigenvalue of the p-bilaplacian.