A1-Contractibilité des schémas affines lisses de basse dimension sur les schémas de Dedekind

A1-Contractibility of Low-Dimensional Smooth Affine Schemes over Dedekind schemes

• Auteur / Autrice : Krishna Kumar Madhavan vijayalakshmi
• Direction : Adrien Dubouloz, Paul Arne Oestvaer
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 02/10/2023
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté en cotutelle avec Università degli Studi di Milano
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-....)

Mots clés

Mots clés libres

Théorie de l'homotopie motivique

Géométrie algébrique

Différentielles de Kähler relatives

Géométrie algébrique affine

Faisceaux de Koras-Russell

Motivic homotopy theory

Algebraic geometry

Relative Kähler differentials

Affine algebraic geometry

Koras-Russell bundles

Résumé

Notre recherche est basée sur la théorie de l'homotopie motivique établie par Morel-Voevodsky à la fin des années 90. Cette théorie nous permet d'effectuer une théorie de l'homotopie sur les schémas. Il est maintenant bien connu que sur un corps k, les espaces affines A^n_{k} sont les seuls schémas affines lisses A1-contractibles en dimensions 0, 1, et 2 (sur Char = 0). Cependant, cette caractérisation échoue en dimension 3 à cause des plis de Koras-Russell. En dimensions supérieures, il existe des preuves substantielles que cette caractérisation échoue. Dans ce contexte, notre projet est une extension naturelle de cette situation en généralisant les résultats à un schéma de Dedekind plus général en dimensions 0, 1 et 2. Notre approche est d'approximer la situation localement par les résultats obtenus dans le cas des champs et d'utiliser la théorie classique de la fibration affine pour les coller globalement dans un faisceau de fibres. Sur une base « sympathique », nous montrons également que de tels schémas sont caractérisés par la disparition des gerbes de Kahler relatives (n=1) et du gerbe canonique (n=2).

Our research is based on the motivic homotopy theory established by Morel-Voevodsky in late 90's. This theory allows us to perform a homotopy theory on schemes. It is now a well-known fact that over a field k, the affine spaces A^n_{k} is the only A1-contractible smooth affine schemes in dimensions 0, 1, and 2 (over Char = 0). However, this characterization fails in dimension 3 due to the Koras-Russell 3-folds. In higher dimensions, there is substantial evidence showing this characterization's failure. In this context, our project is a natural extension of this situation generalizing the results over a more general Dedekind scheme in dimension 0,1, and 2. Our approach is to fiberwise (locally) approximate the situation by the results obtained from the case of fields and use the classical theory of affine fibration to globally glue them into a fiber bundle. Over a 'nice' base, we also show that such schemes are characterized by the vanishing of relative Kahler sheaves (n=1) and the canonical sheaf (n=2).