Méthodes de préconditionnement non linéaire avancées pour la résolution des problèmes à fortes hétérogénéités en géosciences

Advanced nonlinear preconditioning methods for solving highly heterogeneous problems in the geosciences

• Auteur / Autrice : Alessandra Marelli
• Direction : Konstantin Brenner, Quang Huy Tran
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Doctorat mathematiques
• Date : Inscription en doctorat le 02/11/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LJAD - Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné

Mots clés

Mots clés libres

Géosciences

Décomposition de domaine

Écoulement multiphasique

Geosciences

Domain decomposition

Multiphase flow

Résumé

En simulation numérique, la discrétisation des modèles physiques de départ, constitués d'équations aux dérivées partielles non linéaires, donne lieu à des systèmes algébriques non linéaires. La résolution de ceux-ci n'est en général pas aisée, à cause du grand nombre d'inconnues et surtout en raison de la non-linéarité des équations. Traditionnellement, elle s'effectue à l'aide de la méthode de Newton, qui linéarise le problème autour de l'itéré courant. Ainsi, à chaque itération de Newton, on doit résoudre un système linéaire, ce qui paraît plus abordable. Toutefois, la méthode de Newton exhibe souvent des problèmes de convergence, notamment quand le point initial est loin de la vraie solution ou lorsque le système contient de fortes « raideurs », dues par exemple à un grand pas de temps ou à un fort contraste de propriétés physiques au sein du milieu considéré. Nous proposons de s'attaquer à ce problème par le biais des techniques de préconditionnement non linéaire sur la base des méthodes de décomposition de domaine. On note qu'il est très courant qu'une très faible proportion de degrés de liberté ou d'inconnues, localisés au voisinage des fronts d'apparition/disparition de phases, des fronts de réactions chimiques ou encore aux interfaces matérielles, soit responsable de la perte de performance ou de l'échec de la méthode de Newton. En partant de cette observation nous proposons d'adopter une stratégie de partitionnement du domaine adaptative dans laquelle un certain nombre de sous-domaines sera soigneusement arrangé de sorte à recouvrir les zones problématiques. Le reste du domaine sera partitionné de façon traditionnelle. La résolution de problèmes locaux pourra se faire par une méthode de Newton ou par une méthode lente mais robuste, ce qui se justifie par la petite taille du système associé.

In numerical simulation, the discretization of starting physical models, made up of non-linear partial differential equations, gives rise to non-linear algebraic systems. In general, they are not easy to solve, due to the large number of unknowns and, above all, the non-linearity of the equations. Traditionally, they are solved using Newton's method, which linearizes the problem around the current iterate. This means that for each Newton iteration, a linear system must be solved, which seems more affordable. However, Newton's method often exhibits convergence problems, particularly when the initial point is far from the true solution or when the system contains strong ''stiffnesses'', due for example to a large time step or a strong contrast of physical properties within the medium considered. We propose to tackle this problem using nonlinear preconditioning techniques based on domain decomposition methods. We note that it is very common for a very small proportion of degrees of freedom or unknowns, localized in the vicinity of phase appearance/disappearance fronts, chemical reaction fronts or even material interfaces, to be responsible for the loss of performance or failure of Newton's method. Based on this observation, we propose to adopt an adaptive domain partitioning strategy in which a number of sub-domains will be carefully arranged to cover problem areas. The rest of the domain will be partitioned in the traditional way. Local problems can be solved by a Newtonian method or by a slow but robust method, which is justified by the small size of the associated system.