Trisections des livres ouverts de dimension 4

Trisections of 4-dimensional open books

• Auteur / Autrice : Rudy Dissler
• Direction : Benjamin Audoux, Delphine Moussard
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 20/12/2021
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

Mots clés

Mots clés libres

Trisection

Fibré

Livre ouvert

Scindement de heegaard

Trisection

Fiber bundle

Open book

Heegaard splitting

Résumé

Les scindements de Heegaard des variétés de dimension 3 sont des décompositions de ces variétés en deux morceaux élémentaires, dits corps-en-anses. C'est un outil fondamental en topologie de dimension 3. Gay et Kirby [GK16] ont récemment introduit une décomposition analogue des variétés de dimension 4, les trisections, qui consistent en des décompositions en trois corps-en-anses. La théorie des trisections est en plein essor et ouvre de nombreuses pistes d'exploration prometteuses. Une structure de livre ouvert sur une variété X de dimension 4 est la donnée d'une surface fermée S ⊂ X dont le complémentaire est un fibré au-dessus du cercle tel que S est le bord de chaque fibre (ou page du livre ouvert). Le principal objectif de la thèse sera de décrire comment obtenir une trisection d'une variété munie d'un livre ouvert à partir d'un scindement de Heegaard de la page. Comme un scindement de Heegaard, une trisection peut être décrite par un diagramme, c'est-à-dire la donnée de familles de courbes sur une surface fermée qui décrit entièrement la décomposition et détermine la variété à difféomorphisme près. Il s'agira de décrire comment obtenir un diagramme de trisection d'une variété de dimension 4 munie d'un livre ouvert à partir d'un diagramme de Heegaard de la page. Cela devrait permettre en particulier de décrire explicitement des trisections de familles de variétés de dimension 4. De telles descriptions explicites sont peu aisées à obtenir en général et très utiles pour aborder différentes questions ouvertes concernant les trisections, comme par exemple la classification des trisections de petit genre.

Heegaard splittings of tridimensional manifolds are decompositions of these manifolds into elementary pieces, called handlebodies. It is a fundamental tool in tridimensional topology. Gay and Kirby [GK16] recently introduced an analogous decomposition of manifolds of dimension 4: a trisection, which consists in a decomposition into 3 handlebodies. Trisection theory is growing fast and opens many interesting fields of investigation.