Géometrie de Cartan, classes caractéristiques, algébroïdes de Lie et applications à la gravitation

Cartan geometry, characteristic classes, Lie algebroids and applications to gravity

• Auteur / Autrice : Jean Thibaut
• Direction : Serge Lazzarini, Thierry Masson
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : PHYSIQUE & SCIENCES DE LA MATIERE - Spécialité : PHYSIQUE THEORIQUE ET MATHEMATIQUE
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2021
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Physique et sciences de la matière (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de Physique Théorique

Mots clés

Mots clés libres

Géométrie de Cartan

Classes caractéristiques

Gravité topologique

Algébroïdes de Lie

Théories Cartan-Higgs

Cartan geometry

Characteristic classes

Topological gravity

Lie algebroids

Cartan-Higgs theories

Résumé

Les théories de jauge sont une composante essentielle de la boite à outil phénoménologique pour décrire la physique des particules et les interactions fondamentales en termes de théories des champs. Leur succès repose sur leur naturalité (couplage minimal) et leur renormalisabilité (dans leurs versions quantifiées). Cependant, des problèmes constitutifs essentiels pour leur usage ont demandé des solutions originales et subtiles. En particulier, la théorie de gravitation a du mal à être parfaitement incorporée dans ce cadre et reste un “graal” pour le physicien théoricien. Dans les années 1980, les théories des champs de jauge dites de Yang-Mills ont été décrites mathématiquement en termes de fibrés principaux avec connexions et de fibrés vectoriels associés avec dérivées covariantes dans le cadre de la géométrie différentielle standard. Après les années 1990, la géométrie non commutative a permis d'écrire de nouvelles classes de théories de champs de jauge avec des champs candidats pour le mécanisme de Higgs, et a conduit aux théories dites de Yang-Mills-Higgs. Dans les années 2010, l'équipe GPS a initié la description de théories des champs de jauge en termes d'algèbres de Lie transitives [1], dans lesquelles le mécanisme de Higgs est également naturel. Les membres de l'équipe GPS ont participé activement à tous ces développements, voir l'article de revue pour plus de détails [4]. Un autre progrès récent dans la compréhension des mathématiques des théories de champs de jauge est la méthode du “champ d'habillage” : une nouvelle façon de réduire les symétries dans les théories de champs de jauge initiée par l'équipe GPS, voir l'article de synthèse pour plus de détails [5]. Cette méthode consiste à repérer dans la théorie de jauge (classique) considérée un champ d'habillage ayant une transformation de jauge bien particulière sous l'action du groupe de jauge ou d'un de ses sous-groupes. Ce champs sert alors à “transformer” (habiller) les autres champs de la théorie, aussi bien les champs de jauge que les champs de matière. Il s'ensuit alors qu'une partie du groupe de jauge (ou tout le groupe de jauge) agit trivialement sur ces champs habillés. Si des degrés de liberté du groupe de jauge agissent non trivialement, leur action est calculable et est fixée par la méthode (et le choix du champ d'habillage). La symétrie originale (toute ou partie) est ainsi réduite au sein même de la théorie, sans par exemple avoir à invoquer un fixage de jauge “externe”, tandis que la symétrie résiduelle (s'il en reste une) est déduite et conduit à un modèle. Plusieurs exemples ont déjà été explorés, en particulier pour la partie électrofaible du modèle standard des particules élémentaires. Un autre exemple illustratif en lien avec le présent projet de thèse concerne le lien entre la description de la relativité générale en terme d'une théorie de jauge SO(1; 3) (approche dite d'Einstein-Cartan et qui est une théorie de jauge de type Yang-Mills) et en termes purement géométriques (formulation Einstein-Hilbert), à l'aide d'une connexion de Levi-Civita (symboles de Christoffel). D'habitude, le lien s'effectue;de la seconde description vers la première, en réduisant le groupe de jauge du fibré des repères;à son sous-groupe SO(1; 3), grâce à la donnée d'une métrique. La méthode d'habillage, quant à elle, fonctionne dans l'autre sens : partant d'une théorie de jauge SO(1; 3), elle découple cette symétrie SO(1; 3), de telle façon qu'il ne reste que des objets purement géométriques, comme par exemple la connexion linéaire de Levi-Civita, qu'il est possible d'interpréter dans le cadre de la géométrie du fibré principal des repères linéaires comme paramétrage de la connexion de Cartan (normale) sur le fibré des repères. Du point de vue mathématique, ces structures méritent d'être étudiées davantage, comme l'équipe GPS l'a fait récemment à propos des connexions de Cartan dans le cadre des algèbroïdes de Lie transitifs [6]. Du point de vue de la pertinence pour la physique, nous devons construire des modèles (lagrangiens en dotant l'algébroïde de Lie d'une métrique selon [2]) et de les étudier afin de valider leur intérêt en tant que théories de jauge pour de nouveaux et futurs développements. Le projet de recherche de la thèse est d'appliquer la construction développée au sein de l'équipe GPS au cas spécifique de l'algébroïde obtenu à partir du groupe conforme qui est un groupe contentant le groupe SO(1; 3) défini par la métrique de Minkowski. Une façon d'aborder le problème sera l'utilisation des repères appartenant à la G-structure conforme. Le fibré principal qui en découle, permettra de construire l'algèbroïde de Lie d'Atiyah associé et ainsi que la connexion de Cartan afférente. Par la suite, la construction d'un lagrangien le long de la ligne proposée dans [2] sera considérée. La théorie de jauge associée sera étudiée, notamment dans le cadre algébrique puissant et élégant dit de BRST. Ensuite, la structure conforme ainsi obtenue sera utilisée comme nouvelle approche à la théorie de la gravitation unimodulaire et de ses liens avec la constante cosmologique et la constante de Hubble-Lemaître si importantes pour les modèles cosmologiques. Quelques références : [1] S. Lazzarini, T. Masson ; “Connections on Lie algebroids and on derivation-based noncommutative geometry'', J. Geom. Phys. 62 (2012) pp. 387–402, arXiv:1003.6106v2 [math.DG]. [2] C. Fournel, S. Lazzarini and T. Masson ; “Formulation of Gauge Theories on Transitive Lie algebroids”, J. Geom. Phys. 64 (2013) pp 174-191, arXiv:1205.6725 [math-ph]. [3] J. François, C. Fournel, S. Lazzarini, and T. Masson ; “Gauge invariant composite fields out of connections, with examples'', Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 11 (2014) 1450016, DOI:10.1142/S0219887814500169, arXiv:1212.6702 [math-ph]. [4] J. François, S. Lazzarini, and T. Masson ; “Gauge field theories: various mathematical approaches.” In Mathematical Structures of the Universe, M. Eckstein, M. Heller, and S. J. Szybka (Ed.), Copernicus Center Press, 2014, p. 177-225. [5] J. Attard, J. François, S. Lazzarini and T. Masson; “The dressing field method of gauge symmetry reduction, a review with examples,” in Foundations of Mathematics and Physics one Century after Hilbert, New Perspectives, J. Kouneiher ed., Springer 2018, arXiv:1702.02753 [math-ph]. [6] J. Attard, J. François, S. Lazzarini and T. Masson ; “Cartan Connections and Atiyah Lie Algebroids,” arXiv:1904.04915 [math-ph]; J. Geom. Phys. 148 (2019), https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2019.103541

Gauge theories are an essential component to describe particle physics and fundamental interactions in terms of field theories. Their success relies on their naturalness (canonical coupling) and renormalizability (for their quantized versions). However, several problems arose, which required original and subtle solutions. In particular, the gravitational interaction remains difficult to incorporate in this formalism. The first gauge theories to be described historically were Yang-Mills gauge theories in the 80's. It relied on the mathematical notion of principal fiber bundles with associated connections, covariant derivatives by using the formalism that is differential geometry. In the 90's another type of theories was created in the name of Yang-Mills-Higgs theories by using Non-commutative-geometry. Later in the 2010's, the GPS team initiated a new description of such class of theories by studying gauge theories on transitive Lie algebroids [1]. A review article of this formalism can be found in [4]. Another progress in gauge field theory is the “dressing field method” (elaborated by the GPS team). Which is a new way to fix/reduce gauge symmetries (see [5] for more details). It consists of identifying a dressing field that will allow to “dress” (transform) the other fields of the theory such that the symmetry group or a part of it acts trivially on the transformed fields. This method therefore allows to reduce the symmetry without invoking any gauge fixing. Several examples including the description of the electro-weak interaction as well as the link between the Einstein-Cartan (that relies on Cartan geometry) and Einstein-Hilbert have been studied via this method. From the mathematical point of view it seems important to study such structures in more details. As was for example done in [6] for Cartan connections by describing them in terms of Lie Algebroids. From the physical point of view we need to construct models (lagrangians, using a metric on the Lie algebroid as in [2]) in order to study and identify their physical properties for new and future developments. The research project for this PhD thesis is to apply the formalism of gauge theories on Lie algebroids developed in the GPS team for the specific example of the Conformal group (which contains the SO(3,1) group dear to General Relativity) and to build the corresponding Cartan connection. After that, the construction of an associated Lagragian along the lines of [2] shall be considered. The associated gauge theory will then be studied using the elegant and poweful tool that is the BRST formalism. Finally the conformal theory obtained shall be used as a new approach to unimodular gravity and the possible links to the cornerstones of cosmology that are the cosmological and Hubble-Lemaître constant shall be investigated. Some references: [1] S. Lazzarini, T. Masson ; “Connections on Lie algebroids and on derivation-based noncommutative geometry'', J. Geom. Phys. 62 (2012) pp. 387–402, arXiv:1003.6106v2 [math.DG]. [2] C. Fournel, S. Lazzarini and T. Masson ; “Formulation of Gauge Theories on Transitive Lie algebroids”, J. Geom. Phys. 64 (2013) pp 174-191, arXiv:1205.6725 [math-ph]. [3] J. François, C. Fournel, S. Lazzarini, and T. Masson ; “Gauge invariant composite fields out of connections, with examples'', Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 11 (2014) 1450016, DOI:10.1142/S0219887814500169, arXiv:1212.6702 [math-ph]. [4] J. François, S. Lazzarini, and T. Masson ; “Gauge field theories: various mathematical approaches.” In Mathematical Structures of the Universe, M. Eckstein, M. Heller, and S. J. Szybka (Ed.), Copernicus Center Press, 2014, p. 177-225. [5] J. Attard, J. François, S. Lazzarini and T. Masson; “The dressing field method of gauge symmetry reduction, a review with examples,” in Foundations of Mathematics and Physics one Century after Hilbert, New Perspectives, J. Kouneiher ed., Springer 2018, arXiv:1702.02753 [math-ph]. [6] J. Attard, J. François, S. Lazzarini and T. Masson ; “Cartan Connections and Atiyah Lie Algebroids,” arXiv:1904.04915 [math-ph]; J. Geom. Phys. 148 (2019), https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2019.103541