Dynamique des billards dans les pavages Renormalisation des échanges d’intervalles et des surfaces de demi-translation

Dynamics of tilling billiards Renormalization of interval exchange transformations and of half-translation surfaces

• Auteur / Autrice : Magali Jay
• Direction : Pascal Hubert, Olga Paris-romaskevitch
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2024
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I2M - Institut de Mathématiques de Marseille
• Jury : Président / Présidente : Pierre Arnoux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pascal Hubert, Jayadev Athreya, Olga Paris-romaskevich, Stefano Marmi, Erwan Lanneau, Carlos Matheus, Anja Randecker
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jayadev Athreya, Stefano Marmi

Mots clés

Mots clés libres

Billards dans des pavages

Échanges d’intervalles avec ou sans retournements

Induction de Rauzy

Surfaces de translation ou demi-translation

Flot de Teichmüller

Cocycle de Kontsevich-Zorich

Tiling billiards

Interval exchange transformations with or without flips

Rauzy induciton

Translation and half-translation surfaces

Teichmüller flow

Kontsevich-Zorich cocyle

Résumé

Les billards dans les pavages sont des systèmes dynamiques dont l’étude est motivée par des questions aussi bien physiques que mathématiques. Au début des années 2000, des physiciens ont conçu et réalisé des méta-matériaux dans lesquels les ondes électromagnétiques se réfractent selon la loi de Snell-Descartes avec un coefficient négatif. Le trajet de la lumière dans un arrangement de méta-matériaux d’indices de réfraction opposés constitue la trajectoire d’un billard dans un pavage. C’est une ligne brisée dans le plan, droite à l’intérieur de chaque tuile du pavage, et réfractée à la frontière entre deux tuiles. Que peut-on dire de telles trajectoires ? Sont-elles bornées ou non ? Périodiques ? Comment s’échappent-elles à l’infini ? La littérature répond à ces questions pour un petit nombre de pavages, mais pour l’essentiel des configurations les questions restent ouvertes. Dans la plupart des cas étudiés, chaque trajectoire s’identifie à l’orbite d’un point par un échange d’intervalles avec retournements. Le chapitre 2 présente les outils utilisés. Dans le chapitre 3, j’introduis une nouvelle notion, celle de billards dans des pavages généralisés, construits avec des polygones inscrits dans des cercles. Les trajectoires étudiées présentent des comportements différents de celles connues auparavant dans les pavages triangulaires et quadrilatéraux cycliques. J’exhibe un ensemble ouvert de paramètres pour lesquels les trajectoires admettent une direction asymptotique et en dévient de façon sous-linéaire. Cela n’arrive jamais dans des pavages triangulaires ou quadrilatéraux. De plus, j’établis le taux de croissance de ces déviations, dans le cas générique et dans certains cas non génériques. Dans le chapitre 4, j’étudie la classe des échanges d’intervalles associés aux billards dans un pavage bi-triangulaire. Ce sont des échanges d’intervalles définis sur deux cercles de même périmètre, qui admettent chacun trois intervalles de continuité (tous renversés). Je définis une induction pour étudier cette classe d’échanges d’intervalles. Cette induction permet de restreindre l’ensemble des paramètres susceptibles de correspondre à des échanges d’intervalles minimaux. Le chapitre 5 s’intéresse aux trajectoires obtenues dans un arrangement périodique de rectangles (d’indice -1) dans le plan euclidien (d’indice 1). Cet arrangement est celui du modèle du vent dans les arbres. Je montre que pour presque tout choix de paramètres, les trajectoires restent dans une bande (de largeur bornée) du plan. Ce comportement est semblable à celui des lentilles d’Eaton.

Tiling billiards are dynamical systems studied for both physical and mathematical reasons. In the early 2000’s, physicists designed and produced metamaterials that refract electromagnetic waves according to Snell’s law with a negative coefficient. The light rays in an array of such meta-material with opposite refraction indices form the trajectories of a tiling billiard. They are broken lines, straight inside each tile of the tiling, and refracted each time they cross a side of a tile. What can we say about such trajectories? Are they bounded or not? Periodic? How do they go to infinity? The answers to these questions are known for a small set of tilings, but for the majority of configurations they are open questions. In most studied cases, each trajectory can be identified to the orbit of a point under the action of an interval exchange transformation with flips on one or more circles. Chapter 2 introduces the mathematical tools that I use. In Chapter 3, I introduce a new notion, of generalized tiling billiards in cyclic polygons. The behavior of generalized tiling billiards in cyclic N -gons with N ⩾ 5 is significantly different from that of triangular and cyclic quadrilateral tiling billiards. I exhibit an open set of parameters for which the trajectories deviate sublinearly from their asymptotic direction, which never happens with triangle or cyclic quadrilateral tilings. Moreover, I establish the rate of deviations both in the generic case and in some non-generic cases. In Chapter 4, I study a class of interval exchange transformations corresponding to bi-triangle tiling billiards. To study this class, I define an induction, which allows to restrict the possible parameters for minimal interval exchange transformations with flips (IETFs) in this class. Finally, in Chapter 5, I consider the trajectories of a light ray in a periodic array of rectangles (of index -1) in the plane R2 (of index 1). This array is the one of the so-called wind-tree model. I show that for almost every choice of parameters, the trajectories stay in a strip of bounded width. This behavior is similar to that of Eaton lenses.