Correspondances de Dold-Kan homotopiques

Homotopical Dold-Kan correspondences

• Auteur / Autrice : Léo Hubert
• Direction : Dimitri Ara, Yves Lafont
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2025
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I2M - Institut de Mathématiques de Marseille
• Jury : Président / Présidente : Clemens Berger
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dimitri Ara, Muriel Livernet, Christine Vespa, Georges Maltsiniotis, Yves Lafont
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Clemens Berger, Muriel Livernet

Mots clés

Mots clés libres

Catégories test

Théorème de Dold-Kan

Préfaisceaux en groupes abéliens

Produit tensoriel de foncteurs

Homologie des préfaisceaux abéliens

Types d'homologie

Abelian presheaves

Dold-Kan theorem

Homology of abelian presheaves

Homology types

Tensor product of functors

Test categories

Résumé

Ce travail trouve son origine dans les chapitres V et VII du manuscrit de Grothendieck Pursuing Stacks, qui contiennent une série de questions ainsi qu’un formalisme jusqu’ici resté inexploré, concernant l’interaction entre la notion de catégorie test et l’homologie. L’objectif principal de cette thèse est d’exhiber, dans le cadre des catégories test, des correspondances de Dold-Kan homotopiques. Plus précisément, on introduit, selon Grothendieck, un foncteur généralisant le foncteur d’homologie simpliciale, associant aux préfaisceaux en groupes abéliens sur une petite catégorie quelconque un type d’homologie, c’est-à-dire un élément de la catégorie dérivée des groupes abéliens en degré homologique positif. On cherche alors des conditions pour que ce foncteur induise une équivalence de catégories, après localisation par la classe des morphismes dont l’image dans la catégorie dérivée est un isomorphisme. En général, il existe une seconde classe d’équivalences faibles, issue de la théorie des catégories test, sur la catégorie des préfaisceaux abéliens, et on appelle catégories de Whitehead les petites catégories pour lesquelles les deux classes coïncident, généralisant ainsi le cas de ∆. On montre que des exemples importants de catégories test sont de Whitehead, notamment la catégorie Θ de Joyal. On construit, pour toute catégorie test locale de Whitehead, une structure de catégorie de modèles sur sa catégorie des préfaisceaux abéliens munie des équivalences faibles évoquées ci-dessus. On démontre alors que pour toute catégorie test de Whitehead, le foncteur d’homologie induit bien une équivalence entre les catégories localisées. On obtient ainsi de nombreux exemples de correspondances de Dold-Kan homotopiques incluant, entre autres, la catégorie Θ.

This work originates from chapters V and VII of Grothendieck’s manuscript Pursuing Stacks, which contains a series of questions, as well as a previously unexplored formalism, concerning the interactions between the notion of test categories and homology. The main objective of this thesis is to exhibit homotopical Dold-Kan correspondences in the context of test categories. More precisely, we introduce, following Grothendieck, a functor generalizing simplicial homology, from the category of abelian presheaves over any small category to the derived category of abelian groups in non-negative homological degree. We then look for conditions ensuring that this functor induces an equivalence of categories, after localization by the class of morphisms whose image in the derived category is an isomorphism. Generally, there exists a second class of weak equivalences, arising from the theory of test categories, on the category of abelian presheaves, and we call Whitehead categories those small categories for which these two classes coincide, generalizing the case of ∆. We show that important examples of test categories are Whitehead categories, notably Joyal’s category Θ. We construct, for any Whitehead local test category, a model category structure on its category of abelian presheaves with the weak equivalences mentioned above. We then prove that for any Whitehead test category, the homology functor does induce an equivalence between the localized categories. We obtain this way many examples of homotopical Dold-Kan correspondences, including, among others, the category Θ.