Substitution et complexité

Substitution and complexity

• Auteur / Autrice : Raphaël Henry
• Direction : Nicolas Bedaride, Etienne Moutot
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 02/10/2023
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

Mots clés

Mots clés libres

Combinatoire

Dynamique

Susbtitutions

Combinatorics

Dynamics

Substitutions

Résumé

Le but de ce projet est de généraliser des résultats caractérisant la complexité de facteurs de substitutions sur des mots à des substitutions plus générales. Une substitution s est un morphisme d'un alphabet fini A dans l'ensemble des mots finis A*, et on s'intéresse surtout à leur points fixes : les mots infinis w tels que s(w)=w. Ces points fixes sont appelés des mots ou des suites purement morphiques. Les suites morphiques sont l'image d'une suite purement morphique par un autre morphisme. L'outil qu'on utilise pour décrire ces objets est la complexité de facteurs : pour w une suite infinie donnée, à chaque entier n on associe le nombre de facteurs (de morceau) différents de taille n dans w. Dans mon stage j'ai étudié des résultats importants qui classifient la complexité des suites morphiques en fonction du morphisme. J'ai notamment montré la décidabilité de la classification des suites purement morphiques. Le premier objectif de la thèse est de continuer ce travail, principalement le résultat de Devyatov sur les suites morphiques. A partir des résultats en dimension 1 (sur N ou sur Z), nous voulons généraliser les substitutions à d'autres espaces : d'autres groupes comme Z² ou les groupes libres, ou sur des pavages géométriques. Des notions de substitution et de complexité ont été définies sur des cas particuliers, il serait donc intéressant d'unifier des définitions et propriétés.

The goal of the project is to generalize results on the factor complexity of substitutions on words to more general substitutions. A substitution s is a morphism from a finite alphabet A to the set of finite words A*, and we focus on their fixed points : the infinite words w verifying s(w)=w. These fixed points are called pure morphic words/sequences. Morphic sequences are the image of a pure morphic sequence by another morphism. The tool we use to describe these objects is the factor complexity : with a given infinite sequence w, to each integer n we map the number of different factors of length n in w. During my internship, I studied major results classifying the complexity of morphic sequences based on the morphism. I proved the decidability of the classification of pure morphic sequences. Our first goal is to continue this work, mostly the result of Devyatov about morphic sequences. Starting from the results in dimension 1 (on N or Z), we want to generalize substitutions to other spaces : other groups like Z² or the free groups, or geometric tilings. Some definitions of substitution and complexity have been given in some specific examples, so it would be interesting to unify the definitions and properties.