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Thèse en cours

Théorèmes de Paley-Wiener à trace pour certains espaces symétriques et conjecture de Lapid-Mao pour les coefficients de Fourier-Whittaker

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Auteur / Autrice : Juliette Coutens
Direction : Bertrand Lemaire, Raphael Beuzart-plessis
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Inscription en doctorat le 01/09/2022
Etablissement(s) : Aix-Marseille
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

Résumé

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Le premier objectif de cette thèse serait d'établir pour la première fois des ''théorèmes de Paley-Wiener à trace'' dans un cadre relatif. En effet, dans le cas d'un groupe local réductif des résultats maintenant classiques de Bernstein-Deligne-Kazhdan (dans le cas p-adique) et Clozel-Delorme (dans le cas réel) fournissent une description explicite des transformées de Fourier scalaires de fonctions tests (c'est ce que l'on appelle communément des théorèmes de Paley-Wiener à trace). Ces résultats ont d'importantes applications à la formule des traces (un outil analytique central et très puissant de la théorie des formes automorphes) et il est naturel de se demander si ces derniers admettent une généralisation aux variétés sphériques (avec des applications similaires aux formules des traces relatives; une généralisation introduite par Jacquet de la formule des traces). Afin d'obtenir des théorèmes de Paley-Wiener à trace dans ces deux situations, on se basera notamment sur les formules de Plancherel explicites ainsi que sur les bonnes propriétés des fonctionnelles de Jacquet. Pour la deuxième partie de ce projet, il s'agira d'utiliser les résultats démontrés dans la première partie de la thèse pour s'attaquer à une conjecture de Lapid-Mao portant sur les coefficients de Fourier-Whittaker des formes cuspidales. Il s'agit d'une formule importante dans le programme de Langlands relatif qui relie conjecturalement certaines périodes intégrales de formes automorphes à des valeurs spéciales de fonctions L adjointes. Celle-ci n'est actuellement connue en toute généralité que pour deux familles de groupes particuliers: tout d'abord dans le cas des groupes linéaires, où pour les groupes métaplectiques d'après un autre travail de Lapid-Mao.