Modèle de réalisabilité pour la théorie des ensembles.

Realizability model for set theory

• Auteur / Autrice : Ada Picano-nacci
• Direction : Julien Cervelle
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2023
• Etablissement(s) : Paris 12
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LACL - Laboratoire d'Algorithmique, Complexité et Logique

Mots clés

Mots clés libres

Logique

Réalisabilité

Théorie des ensembles

Logic

Realizability

Set Theory

Résumé

L'objectif principal de ce projet est d'étudier le contenu computationnel de la théorie des ensembles par le biais de la réalisabilité ; il s'agit d'un projet interdisciplinaire combinant des outils de la théorie des ensembles et de l'informatique théorique. La réalisabilité est une branche de la logique qui vise à extraire le contenu computationnel des théories mathématiques : une théorie (ou un système logique) est interprétée dans un modèle de calcul en établissant une correspondance entre les formules et les programmes d'une manière qui est compatible avec les règles de déduction. Par exemple, un d'une implication A⇒B est un programme qui, appliqué à un réalisateur de A, renvoie un réalisateur de B. La réalisabilité est au cœur de l'extraction des programmes dans les assistants de preuve tels que comme Coq. Les origines de la réalisabilité remontent aux travaux de Kleene en mathématiques constructives : La réalisabilité de Kleene a formalisé le point de vue intuitionniste selon lequel les preuves sont des algorithmes (fonctions calculables) en interprétant les preuves de l'arithmétique de Heyting comme des fonctions récursives. Dans la réalisabilité moderne, les fonctions récursives sont remplacées par des programmes, les fonctions récursives sont remplacées par des programmes formalisés dans une variante de λ-calcul, de sorte que la réalisabilité moderne est une extension de l'isomorphisme de Curry-Howard qui établit une correspondance entre la logique intuitionniste et le λ-calcul simplement typé. Dans les années 90, les travaux de Griffin ont permis de franchir la barrière entre la logique intuitionniste et le calcul simplement typé. la barrière de la logique intuitionniste et d'étendre la correspondance de Curry-Howard à la logique classique en utilisant le λC-calcul, une extension du λ-calcul qui formalise le calcul dans le langage de programmation Scheme. S'inspirant des travaux de Griffin, le mathématicien français J.-L. Krivine a mis au point une méthode permettant de réaliser non seulement la logique classique, mais aussi la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel ZF. Tout ce qui peut être réalisé dans ces modèles peut être calculé à l'aide de la méthode de Krivine. peut être calculé à l'aide de la machine abstraite de Krivine. Grâce à la technique de Krivine, nous pouvons maintenant d'extraire le contenu computationnel des axiomes de ZF (et plus encore) : par exemple, l'axiome de fondation est réalisé par le combinateur de points fixes de Turing. La technique de Krivine généralise la méthode de Forcing en théorie des ensembles, en fait les modèles de Forcing sont des instances particulières de modèles de réalisabilité qui, cependant, n'ont qu'un seul réalisateur (la condition maximale), de sorte qu'ils n'éclairent pas le contenu computationnel de la théorie des ensembles ; dans ce qui suit, nous ne ferons référence qu'à des modèles de réalisabilité non Forcing. dans ce qui suit, nous ne ferons référence qu'à des modèles de réalisabilité non forçants, sauf indication contraire. Si la technique de Krivine fonctionne fonctionne bien pour les axiomes de ZF, la réalisation de l'Axiome de Choix (AC) est plus problématique. Il est assez facile Il est assez facile de réaliser une version non-extensionnelle de l'axiome du choix, appelée NEAC, en exploitant l'instruction ''quote'' du langage de de programmation LISP ; à partir de NEAC, il a été possible de réaliser le choix dépendant. DC correspond à une version dénombrable de l'axiome du choix, mais Fontanella et Geoffroy ont prouvé qu'en enrichissant le calcul avec des instructions qui généralisent 'quote', il est possible de réaliser même des versions non dénombrables de l'axiome du choix, à savoir pour chaque cardinal κ il est possible de de réaliser des versions du lemme de Zorn restreintes à un représentant de κ. Dans un article récemment soumis. En 2021, Krivine construit un modèle de réalisabilité pour l'ensemble de l'axiome du choix. Cependant, bien que dans le modèle introduit il y ait un programme concret réalisant AC, il est difficile d'extraire un tel programme, et donc de comprendre son contenu computationnel. Ainsi, la détermination des programmes qui réalisent l'axiome du choix reste un problème ouvert. Dans le prolongement de ces résultats, le projet se concentre sur deux objectifs principaux : 1. Extraire un réaliseur de AC et comprendre son contenu computationnel ; 2. Etudier les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un modèle de réalisabilité soit un modèle symétrique.

The main purpose of this project is to study the computational content of set theory through realizability; it is an interdisciplinary project combining tools from set theory and theoretical computer science. Realizability is a branch of logic that aims to extract the computational content of mathematical theories: a theory (or a logical system) is interpreted in a model of computation by establishing a correspondence between formulae and programs in a way that is compatible with the rules of deduction. For instance, a of an implication A⇒B is a program which, applied to a realizer of A, returns a realizer of B. Realizability is at the heart of programs extraction in proofs assistants such as Coq. The origins of realizability dates back to Kleene's work in constructive mathematics: Kleene's realizability formalized the intuitionistic view that proofs are algorithms (computable functions) by interpreting proofs in Heyting arithmetic as recursive functions. In modern realizability, recursive functions are replaced by programs formalised in some variant of λ-calculus , so modern realizability is an extension of the Curry-Howard isomorphism which establishes a correspondence between intuitionistic logic and simply typed λ-calculus. In the 90's, the work of Griffin led to pass the barrier of intuitionistic logic and to extend the Curry-Howard correspondence to classical logic by using the λC-calculus, an extension of λ-calculus that formalizes computation in the programming language Scheme. Appealing on Griffin's work, the French mathematician J.-L. Krivine developed a method for realizing not only classical logic, but even Zermelo-Fraenkel set theory ZF. Anything that can be realized in these models can be computed using Krivine's abstract machine. Thanks to Krivine's technique, we are now able to extract the computational content of the axioms of ZF (and more): for instance, the axiom of foundation is realized by the Turing fixed point combinator. Krivine's technique generalizes the method of Forcing in set theory, in fact Forcing models are particular instances of realizability models that, however, have only one realizer (the maximal condition), so they do not shed light on the computational content of set theory; in the following we will only refer to non-Forcing realizability models unless otherwise specified. While Krivine's technique works well for the axioms of ZF, realizing the Axiom of Choice (AC) is more problematic. It is rather easy to realize a non-extensional version of the axiom of choice, called NEAC, by exploiting the instruction ‘quote' of the programming language LISP; from NEAC, it was possible to realize Dependent Choice. DC corresponds to a countable version of the Axiom of Choice, but Fontanella and Geoffroy proved that, by enriching the calculus with instructions that generalize ‘quote', it is possible to realize even uncountable versions of the Axiom of Choice, namely for every cardinal κ it is possible to realize versions of Zorn's lemma restricted to a representative of κ. In a recently submitted paper. In 2021 Krivine buils a realizability model for the full Axiom of Choice. However, while in the introduced model there is a concrete program realizing AC, it is dificult to extract such a program, and therefore to understand its computational meaning. Thus, it remains an open problem to determine which programs realize the axiom of choice. In continuation with these results,the project focuses on two main objectives: 1. Extract a realizer of AC and understand its computational meaning; 2. Study the necessary and sufficient conditions for a realisability model to be a symmetric model.