Formes optimales pour des fonctions couts non monotones

Optimal shapes for non monotonous cost functions

• Auteur / Autrice : Alexis Jodon de villeroché
• Direction : Dorin Bucur, Giuseppe Buttazzo
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : Chambéry en cotutelle avec Università di Pisa
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques

Mots clés

Mots clés libres

Optimisation de formes

Problèmes à frontière/discontinuité libre

Fonctionnelles spectrales

Shape optimization

Free boundary/discontinuity problems

Spectral functionals

Résumé

L'objectif de la thèse est l'étude qualitative des problèmes d'optimisation de formes impliquant simultanément des énergies en compétition. Un exemple typique de nature purement géométrique qui est très étudié dans la littérature est le problème consistant à minimiser parmi tous les mesurables de mesure prescrite de R^d la somme entre une énergie associée à un potentiel de Riesz, qui est répulsive et non-locale, et le périmètre qui est local et attractif. Plus récemment, une série de travaux autour de G. Buttazzo ont concerné l'optimisation des fonctionnelles impliquant des énergies plus complexes, issues des EDPs, de type : l(A)T(A)^a, dans la classe d'ouverts de R^d de mesure prescrite. Ici, l(A) est la première valeur propre du Laplacien Dirichlet et T(A) est la rigidité à la torsion de l'ouvert A de R^d. Ces deux énergies sont en compétition car la première est minimisée par la boule (inégalité de Faber-Krahn) et la deuxième est maximisée par la boule (inégalité de Saint-Venant). Suivant la valeur du paramètre a > 0, des comportement différents peuvent être observés, des phénomènes d'homogénéisation versus solution explicite (la boule).

The objective of the Phd is the qualitative study of shape optimization problems involving simultanuously competing energies. A typical example of purely geometrical nature extensively studied in the literature is the problem of minimizing among all measurable sets of prescribed measure in R^d the sum of an energy associated to a Riesz potential, which is repulsive and non local, and the perimeter, which is local and attractive. More recently, a series of works revolving around G. Buttazzo considered optimization of functionals involving more complex energies coming from PDEs, of the type : l(A)T(A)^a, in the class of open subsets of R^d of prescibed measure. Here, l(A) is the first eigenvalue of the Dirichlet Laplacian dans T(A) is the torsional rigidity of the open subset A of R^d. These two energies are in competition since the first one is minimized by the ball (Faber-Krahn inequality), and the second one is maximized by the ball (Saint-Venant inequality). Depending on the parameter a > 0, different behaviors can be observed, homegenisation phenonmeon against explicit solutions (the ball).