Algorithmes en convexité généralisée. Application à l'optimisation parcimonieuse.

Algorithms in Generalized Convexity - application to parsimonious optimization

• Auteur / Autrice : Seta Rakotomandimby
• Direction : Michel De lara
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/11/2023
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : CERMICS - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique

Mots clés

Mots clés libres

Optimisation

Convexité généralisée

Algorithmes

Parcimonie

Optimization

Generalized convexity

Algorithm

Parsimony

Résumé

En convexité généralisée, un couplage remplace le produit de dualité et une conjugaison associée remplace celle de Fenchel en convexité classique. Ce domaine a fait l'objet d'un certain nombre de travaux théoriques et, bien plus rarement, algorithmiques. Des travaux récents ont mis en évidence un couplage et une conjugaison potentiellement adaptés à l'optimisation parcimonieuse. C'est dans ce contexte que nous comptons développer des algorithmes en convexité généralisée. Dans une partie plus théorique de la thèse, nous étudierons i) comment définir, en convexité généralisée, distance de Bregman et opérateur proximal, puis en déduire et concevoir de nouveaux algorithmes d'optimisation ii) comment construire et analyser des problèmes duaux. Dans une partie d'implémentation numérique, nous testerons l'efficacité de cette nouvelle approche sur des problèmes tels qu'optimisation parcimonieuse et classification en ''machine learning''.

In generalized convexity, a coupling replaces the duality product, and an associated conjugation replaces that of Fenchel in classical convexity. This field has been the subject of a number of theoretical works and, much less frequently, algorithmic ones. Recent research has highlighted a coupling and conjugation potentially suitable for sparse optimization. It is in this context that we plan to develop algorithms in generalized convexity. In a more theoretical part of the thesis, we will investigate i) how to define, in generalized convexity, the Bregman distance and proximal operator, and subsequently derive and design new optimization algorithms; ii) how to construct and analyze dual problems. In a numerical implementation part, we will test the effectiveness of this new approach on problems such as sparse optimization and machine learning classification.