Topologie en Physique

Topology in Physics

• Auteur / Autrice : Matthieu Finck
• Direction : Dmitry Solnyshkov
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Milieux denses et matériaux
• Date : Inscription en doctorat le 30/09/2023
• Etablissement(s) : Université Clermont Auvergne (2021-...)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Pascal (Aubière, Puy-de-Dôme)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : PHOTON - Photonique, Ondes, Nanomatériaux

Mots clés

Mots clés libres

Isolants topologiques

Fluides quantiques

Invariants topologiques

Quantum fluids

Topological insulators

Topological invariants

Résumé

La topologie est une branche des mathématiques qui, depuis plusieurs décennies joue un rôle central en physique. Certains invariants topologiques découverts en mathématiques déterminent le comportement et les propriétés des systèmes physiques. On peut citer la démonstration du lien entre spin et statistiques (fermionique ou bosonique — théorème spin-statistique ) ou la description de la quantification de la conductivité dans l'effet de Hall quantique qui a réellement marqué le début de la croissance exponentielle de la « Physique topologique ». La nomenclature des invariants topologiques est assez bien développée en mathématiques. Par exemple, les groupes d'homotopie sont connus pour beaucoup de groupes de transformations utilisés en physique (SO(3), U(1) etc). Ces groupes déterminent les défauts topologiques possibles pour certains types de paramètre d'ordre identifiés en physique, mais aussi pour beaucoup d'autres, qui n'ont pas, pour le moment trouvé d'applications en physique. Un autre exemple d'invariant topologique très utilisé en Physique est le nombre de Chern : la signification physique du premier nombre de Chern s'est avérée particulièrement importante pour les isolants topologiques2, tandis que le deuxième nombre de Chern, ainsi que les suivants n'ont trouvé que très récemment une signification en termes de description des propriétés de systèmes physiques . Les classifications topologiques des systèmes physiques, comme la table périodique des isolants topologiques et des supraconducteurs, développées en collaboration entre les mathématiques et la physique, sont particulièrement utiles, car ils permettent d'analyser des systèmes en fonction de leurs symétries. Mais ces classifications ne peuvent jamais être considérées comme complètes : elles concernent généralement un nombre restreint de symétries considérées comme étant les plus importantes (chiralité, particule-trou, inversion du temps) et elles utilisent des restrictions sur les hamiltoniens. Ce dernier aspect s'avère particulièrement important pour les systèmes non-hermitiens, où la classification topologique actuelle est assez fortement limitée : par exemple, elle ne permet pas d'aller au-delà des premiers voisins dans le modèle des liaisons fortes. Il est donc urgent de compléter et d'élargir cette classification afin de pouvoir décrire correctement des systèmes non-hermitiens plus réalistes. L'objectif principal de la thèse sera la description topologique de nouveaux systèmes physiques et la recherche d'applications en physiques des invariants topologiques déjà connus. Dans le premier cas, il faudra trouver un invariant topologique pour un système donné, par exemple, pour un paramètre d'ordre qui n'a pas été considéré jusqu'à présent. Il est possible qu'il faille élargir et améliorer les classifications existantes pour tenir compte de la symétrie des systèmes considérés. Dans le deuxième cas, il faudra résoudre le problème inverse : trouver un système physique décrit par un invariant topologique donné. Dans les deux cas, les conséquences de la topologie sur les propriétés physiques seront étudiées.

Topology is a branch of mathematics that has played a central role in physics for several decades. Certain topological invariants discovered in mathematics determine the behavior and properties of physical systems. As an example, one can cite the demonstration of the link between spin and statistics (fermionic or bosonic - spin-statistics theorem[1]) or the description of the conductivity in the quantum Hall effect[2], which marked the beginning of the exponential growth of 'topological physics'. The nomenclature of topological invariants is well developed in mathematics. For example, homotopy groups are known for many transformation groups used in physics (SO(3), U(1), etc.). These groups determine the possible topological defects for certain types of order parameter[3] identified in physics, but also for many others that have not yet found applications in physics. Another example of a widely used topological invariant in physics is the Chern number: the physical significance of the first Chern number is particularly important for topological insulators[ii], while the second Chern number and subsequent ones have only recently found significance in terms of describing the properties of physical systems[4]. Topological classifications of physical systems, such as the periodic table of topological insulators and superconductors[5],[6] developed in collaboration between mathematics and physics, are particularly useful because they allow systems to be analyzed based on their symmetries. But these classifications can never be considered complete: they generally concern a limited number of symmetries considered to be the most important (chirality, particle-hole, time inversion), and they use restrictions on Hamiltonians. The latter aspect is particularly important for non-Hermitian systems, where the current topological classification[7] is quite strongly limited: for example, it does not allow going beyond nearest neighbors in the tight-binding model. It is therefore urgent to complete and broaden this classification in order to correctly describe more realistic non-Hermitian systems. The main objective of the thesis will be the topological description of new physical systems and the search for applications in physics of already known topological invariants. In the first case, it will be necessary to find a topological invariant for a given system, for example, for an order parameter that has not been considered before. It is possible that existing classifications will need to be expanded and improved to account for the symmetry of the systems under consideration. In the second case, the inverse problem will need to be solved: finding a physical system described by a given topological invariant. In both cases, the consequences of topology on physical properties will be studied.