Groupes quantiques gradués et théories des champs homotopiques

Quantum groups and homotopy field theories

• Auteur / Autrice : Jérôme Milot
• Direction : Alexis Virelizier
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés libres

Groupes quantiques

Tqft

Équations de Yang-Baxter dynamiques

Quantum groups

Tqft

Dynamical Yang-Baxter equations

Résumé

Le domaine de ce projet de thèse en mathématique est la topologie quantique. Ce domaine est né dans les années 1980 suite aux découvertes remarquables de Jones, Drinfeld et Witten dont les travaux (reconnus par l'attribution de la médaille Fields à chacun d'entre eux en 1990) ont renouvelé de manière spectaculaire la topologie, notamment en petite dimension. Ce projet de thèse s'inscrit dans ce renouveau. Une des notions fondamentales de la topologie quantique est celle de théorie des champs quantique topologique (TQFT) formulée par Witten. Elle a pour origine des idées de la physique quantique et forme un cadre qui organise certains invariants topologiques des variétés, appelés invariants quantiques, définis au moyen des groupes quantiques. Les théories quantiques des champs homotopiques (HQFTs) sont une généralisation des TQFTs. L'idée est d'utiliser les techniques des TQFTs pour étudier les fibrés principaux sur les variétés et, plus généralement, les classes d'homotopie d'applications de variétés vers un espace but X. Des HQFTs chirurgicales de dimension 3 ont récemment été construites lorsque l'espace but X est asphérique (i.e., les n-ièmes groupes d'homotopie de X sont triviaux pour n>1). Le propos de la thèse consistera à généraliser (tant du point de vue topologique qu'algébrique) ces constructions au cas où l'espace but X n'est plus asphérique. On étudiera principalement le cas où X est un 2-type (i.e., les n-ièmes groupes d'homotopie de X sont triviaux pour n>2). Dans ce cas, les structures algébriques utiles pour la construction de telles HQFTs devraient être les catégories monoïdales graduées par un module croisé et munies d'un tressage gradué. De tels tressages devraient être reliés à des équations de Yang-Baxter dynamiques quantiques gouvernées par le module croisé. La partie algébrique de la thèse consistera notamment à la construction de solutions de ces équations au moyen des groupes quantiques et de leurs généralisations graduées.

The research domain of this thesis project in mathematics is quantum topology. This field is born in the 1980s following remarkable discoveries by Jones, Drinfeld and Witten whose work (recognized by Fields medals awarded to each of them in 1990) dramatically renewed topology, in particular in low dimension. This PhD project partakes in this renewal. A fundamental notion in quantum topology is that of topological quantum field theory (TQFT) formulated by Witten. This notion originates in ideas from quantum physics and constitutes a framework that organizes certain topological invariants of manifolds, called quantum invariants, which are defined by means of quantum groups. Homotopy quantum field theories (HQFTs) are a generalization of TQFTs. The idea is to use TQFT techniques to study principal bundles over manifolds and, more generally, homotopy classes of maps from manifolds to a topological space X. 3-dimensional surgical HQFTs have recently been constructed when the target space X is aspherical (i.e., the n-th homotopy groups of X are trivial for n>1). The purpose of the thesis is to generalize (both topologically and algebraically) these constructions to the case where the space X is no longer aspherical. We will mainly focus on the case where X is a 2-type (i.e., the n-th homotopy groups of X are trivial for n>2). In this case, the relevant algebraic structures for constructing such HQFTs should be monoidal categories graded by a crossed module and endowed with a graded braiding. Such braidings should be related to dynamical quantum Yang-Baxter equations governed by the crossed module. The algebraic part of the thesis will consist in particular in the construction of solutions of these equations by means of quantum groups and their graded generalizations.