Étude des Type Inductifs d'Ordre Supérieur dans la Théorie Cubique des Types

Study of Higher Inductive Types in Cubical Type Theory

• Auteur / Autrice : Nicolas Margulies
• Direction : Gilles Dowek
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Méthodes Formelles
• Partenaire(s) de recherche : Référent : École normale supérieure Paris-Saclay (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 1912-....)

Mots clés

Mots clés libres

Types inductifs

Théorie homotopique des types

Théorie cubique des types

Inductive types

Homotopy type theory

Cubical type theory

Résumé

L'objectif de la thèse sera l'étude d'un formalisme logique appelé Théorie Cubique des Types. Ce formalisme récent fait l'objet de beaucoup d'études. Cependant, certaines extensions manquent encore d'une définition précise. Nous nous intéresserons aux types inductifs inductifs d'ordre supérieur (HITs). Ces types sont une caractérique des théories des types dites homotopiques, car elles permettent de construire des types de dimension supérieure de manière naturelle. L'étude des ces objets se divise souvent en deux aspects. D'une part on considère les propriétés syntaxiques, dont les sujets sont les termes et les dérivations. Ces résultats sont importants pour montrer la possibilité d'implanter ce formalisme. D'autre part il s'agira de procéder à l'étude sémantique. Celle-ci permet de donner un sens aux objets du formalisme. Une conséquence important est la cohérence: le fait que l'extensoin considérée ne permet pas de dériver de contradiction. Les études sémantiques consistent en la construction d'un modèle. En théorie des types, ce modèle s'exprime souvent à l'aide de catégories. Un des objectifs de ce travail est d'établir des liens entre ces modèles catégoriques et leurs équivalents dans le langage mathématique standard. A l'heure actuelle, les HITs sont un collection d'exemples de types utiles pour construire des espaces topologiques non triviaux. Ces types suivent un schéma général. Toutefois, il est difficile dégager des règles précises pour accepter ou non telle ou telle instance de ce schéma. Des tentatives de formaliser ce schéma existent, mais il n'existe pas d'étude complète. L'objectif principal de cette thèse est de combler ce manque.

The objective of the thesis will be the study of a logical formalism called Cubical Type Theory. This formalism has been the subject of many recent studies. However, some extensions still lack a precise definition. We will focus on higher inductive types (HITs). These types are a feature of the theories of so-called homotopic types, because they allow to build higher dimensional types in a natural way. The study of these objects is often divided into two aspects. On the one hand we consider the syntactic properties, whose objects are terms and derivations. These results are important to show the possibility of implementing this formalism. On the other hand, an objective is to provide a semantic for this theory, making it possible to give meaning to the objects of the formalism. An important consequence is consistency: the fact that the considered extension does not allow to derive a contradiction. Semantic studies consist of the construction of a model. In type theory, this model is often expressed using categories. One of the objectives of this work is to establish links between these categorical models and their equivalents in standard mathematical language. Currently, HITs are a collection of examples of types useful for constructing non-trivial topological spaces. These types follow a general scheme. However, it is difficult to identify precise rules for accepting or not accepting given instance of this scheme. There have been attempts to formalize this pattern, but no comprehensive study exists. The main objective of this thesis is to fill this gap.