Equations de filtration polytropiques, systèmes elliptiques non linéaires et leurs simulations appliquées à la physique.

Polytropic filtration equations, nonlinear elliptic systems and its simulations applied to physics.

• Auteur / Autrice : Loïc Constantin
• Direction : Jacques Giacomoni, Carlota Cuesta
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 29/09/2023
• Etablissement(s) : Pau en cotutelle avec Université du Pays Basque (UPV)
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences Exactes et leurs Applications
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau

Mots clés

Mots clés libres

Problème d'évolution

Équations de filtration

Comportement asymptotique

Simulation numérique

Evolution problem

Filtration equations

Asymptotic behavior

Numerical simulation

Résumé

Cette thèse a pour but de développer de nouveaux outils analytiques et d'obtenir de nouveaux résultats dans le domaine des équations différentielles partielles (EDP) provenant de la physique et de l'ingénierie. différentielles partielles (EDP) issues de la physique et de l'ingénierie. La thèse est divisée en deux parties principales. La première concerne l'étude théorique et numérique des équations de filtration. Nous étudierons les Nous étudierons les propriétés qualitatives et le comportement à long terme des solutions de ces équations. Dans une deuxième partie du programme de thèse, nous étudierons l'existence de solutions à des systèmes elliptiques de type FitzHugh-Nagumo qui fournissent des modèles prototypes de systèmes excitables tels que les neurones. Précisément, les solutions de ces systèmes sont des solutions en régime permanent d'une version simplifiée des équations de conduction nerveuse de Hodgkin-Huxley. Nous Nous étudions les états stationnaires du système afin de décrire le comportement global des systèmes paraboliques associés. paraboliques associés. D'autres développements et questions seront soulevés dans le cadre du programme de doctorat lors de l'examen de caractéristiques physiques supplémentaires dans les modèles, telles que les équations de conduction nerveuse à longue distance. physiques supplémentaires dans les modèles, comme la diffusion à longue distance, l'hétérogénéité du milieu et la gravité dans la loi de Darcy non linéaire.

Through this thesis we aim to develop new analytical tools and obtain new results in the field of Partial Differential Equations (PDE) coming from physics and engineering. The thesis is divided into two main parts. The first one concerns the theoretical and numerical study of filtration equations. We will study the qualitative properties and long-time behaviour of the solutions of these equations. In a second part of the thesis program, we will investigate the existence of solutions to elliptic systems of FitzHugh-Nagumo type which provide prototype models of excitable systems as the neurons. Precisely, solutions for these systems are steady-state solutions of a simplified version of the Hodgkin-Huxley nerve conduction equations. We study the stationary states of the system in order to describe the global behaviour in the associated parabolic systems. Further developments and issues will arise in the PhD program when considering additional physical features in the models as the long-range diffusion, the heterogeneity of the medium and gravity in nonlinear Darcy's law.