Marche Aléatoire sur le réseau orienté

Random walks on randomly oriented lattices

• Auteur / Autrice : Huu Minh Thong Nguyen
• Direction : Arnaud Le ny
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2023
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (Créteil ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Probabilités et statistiques

Mots clés

Mots clés libres

Marche Aléatoire sur le réseau orienté

Etendue

Loi des grands nombres

Temps local

Random walks on randomly oriented lattices

Range

Law of large numbers

Local time

Résumé

Considérons une marche aléatoire branchante (BRW), indexée par un arbre Galton-Watson critique. • Le premier problème est de comprendre comment fait une marche aléatoire branchante pour se replier, c'est-à-dire produire un volume plus petit que son volume typique. Une suite naturelle est d'obtenir des estimées des chances que deux marches branchantes indépendantes qui partent de l'origine, se retrouvent souvent en dimension d > 8. Rappelons que pour une BRW, conditionnée à toucher le bord d'une boule de rayon R, le nombre de sites visités est d'ordre R^4 et c'est pourquoi l'intersection de deux BRW est critique en d = 8. Il serait intéressant de comprendre si la Théorie de Donsker-Varadhan peut s'appliquer à notre objet, et nous permettre d'obtenir un principe de grande déviation, pour le problème des deux BRW. • Le second problème, plus ambitieux, est d'obtenir des estimées des déviations du profil des temps locaux, de la BRW. En d'autres termes, si L(x) est le nombre de visite du site x ∈ Z^d de notre processus, quelles sont les probabilités d'avoir {L(x) = φ(x), ∀x ∈ Λ}? Une suite naturelle est l'existence (ou non) d'isomorphisme pour les temps locaux de la BRW, à la manière des célèbres isomorphismes de Dynkin qui relie les temps locaux d'une marche simple au champ libre gaussien. • En dimension 4, critique pour la BRW, il serait important de généraliser nos progrès récents (A.Asselah & B.Schapira) sur le problème de couvrir plusieurs boules. Nous connaissons les heuristiques pour le recouvrement d'une seule boule, et reste à comprendre techniquement comment traiter le problème de plusieurs boules. En dimension 4, mentionnons un problème très intéressant et plus facile d'accès. Si l'on considère la somme de Minkowski de deux marches simples (dont nous avons montré tout récemment qu'elle était intersection-equivalent à la BRW), peut-on obtenir les lois limites du volume? • Considérons la BRW sur le tore de coté N. Il est une question intéressante de comprendre le temps de couvrement (covering time): combien faut-il de temps pour que tout le tore soit recouvert par la BRW. C'est un problème classique pour la marche simple, mais qui reste ouvert pour la BRW en dimensions d ≥ 2. • Q.Zhu a construit un entrelacs aléatoire fait d'un nuage de Poisson de BRW. Il reste néanmoins à caractériser les propriétés de connectivité de cet entrelacs.

Consider a branching random walk (BRW), indexed by a critical Galton-Watson tree. • The first problem is to understand how a BRW makes it to fold up, i.e. produce a volume smaller than its typical volume. A natural sequence is to obtain estimates of the chances that two independent branching random walks starting from the origin often end up in dimension d > 8. Recall that for a BRW, conditioned to touch the edge of a ball of radius R, the number of sites visited is of order R^4 and this is why the intersection of two BRWs is critical in d = 8. It would be interesting to understand if the Donsker-Varadhan Theory can be applied to our object, and allow us to obtain a principle of large deviation, for the problem of the two BRWs. • The second, more ambitious problem is to obtain estimates of deviations from the local time profile of the BRW. In other words, if L(x) is the number of visits to the site x ∈ Z^d of our process, what are the probabilities of having {L(x) = φ(x), ∀x ∈ Λ} ? A natural sequence is the existence (or not) of isomorphisms for the local times of the BRW, like the famous Dynkin isomorphisms which links the local times of a simple walk to the Gaussian free field. • In dimension 4, critical for the BRW, it would be important to generalize our recent progress (A.Asselah & B.Schapira) on the problem of covering several balls. We know the heuristics for covering of a single ball, and it remains to technically understand how to deal with the problem of several balls. In dimension 4, let us mention a very interesting problem that is easier to access. If we consider the Minkowski sum of two simple walks (which we showed very recently to be intersection-equivalent to the BRW), can we obtain the limit laws of the volume? • Consider the BRW on the N-side torus. It is an interesting question to understand the covering time: how long does it take for the whole torus to be covered by the BRW. This is a classical problem for the simple walk, but which remains open for the BRW in dimensions d ≥ 2. • Q.Zhu constructed a random tracery made of a Poisson cloud of BRW. It remains to characterize the connectivity properties of this link.