Méthodes homologiques et déformations dispersives des hiérarchies intégrables

Homological methods and dispersive deformations of integrable hierarchies

• Auteur / Autrice : Dimitrios Makris
• Direction : Guido Carlet
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 20/09/2023
• Etablissement(s) : Dijon, Université Bourgogne Europe
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne

Mots clés

Mots clés libres

Hiérarchies intégrables

Structures hamiltoniennes et bihamiltoniennes

Déformations dispersive

Variétés de Frobenius

Hiérarchies intégrables de type topologique

Intagrable hierarchies

Hamiltonian and bihamiltonian structures

Dispersive deformations

Frobenius manifolds

Integrable hierarchies of topological type

Lax equations

Résumé

La théorie des systèmes intégrables a fait l'objet de recherches intensives au cours des quarante dernières années. Des liens ont été établis avec de nombreux domaines différents, l'un des plus fructueux étant celui de la géométrie énumérative et en particulier de la théorie des invariants de Gromov-Witten, ce qui a conduit à l'introduction des variétés de Frobenius, initialement introduites comme un moyen d'encoder la structure des théories de champs topologiques 2D. Dans ce cadre - où les structures hamiltoniennes et bi-hamiltoniennes apparaissent naturellement associées aux variétés de Frobenius et à leurs hiérarchies intégrables de type sans dispersion (genre zéro, de type hydrodynamique) - le problème de la déformation dispersive et de la classification de ces structures a d'abord été formulé. Le domaine s'est développé rapidement, et récemment, l'application de techniques d'algèbre homologique au calcul des groupes de cohomologie de Poisson et bi-hamiltonienne a conduit à une description complète de la cohomologie complète dans plusieurs cas pertinents, y compris la preuve de la conjecture sur l'existence de déformations générales des structures bi-hamiltoniennes semi-simples de type hydrodynamique. Récemment, des techniques similaires ont été utilisées pour résoudre de vieux problèmes de classification des hiérarchies intégrables de type topologique. L'objectif de ce projet est de contribuer à l'étude de l'existence et de la classification des déformations dispersives des structures dans la théorie des hiérarchies intégrables. Plusieurs problèmes ouverts incluent la classification des structures de Poisson avec plusieurs variables indépendantes, des structures bi-hamiltoniennes, l'application de méthodes cohomologiques aux transformations quasi-Miura et à la quasi-trivialité des structures et hiérarchies bi-hamiltoniennes, à l'existence de versions dispersives des groupes de symétrie de Virasoro et de plus grande taille, et à l'équivalence des constructions DZ et DR des hiérarchies intégrables. De plus, un problème ouvert d'intérêt est de trouver davantage de candidats de hiérarchies bi-hamiltoniennes liées aux théories de champ cohomologiques. En principe, pour les structures bi-hamiltoniennes associées aux variétés de Frobenius, nous savons que certains invariants (appelés invariants centraux) doivent être égaux à . Récemment, il a été prouvé que certaines hiérarchies contraintes (en particulier, les hiérarchies KP rationnellement contraintes) présentent également cette propriété. Nous proposons d'appliquer un processus de réduction similaire à des hiérarchies appropriées et bien connues d'importance, telles que la hiérarchie 2D Toda, puis d'étudier l'existence d'une structure bi-hamiltonienne pour le système d'équations contraintes, ainsi que de calculer les invariants centraux associés à la structure bi-hamiltonienne.

The theory of integrable systems has been the subject of intense research over the past forty years. Connections with many different fields have been established, one of the most fruitful being that with enumerative geometry and in particular with the theory of Gromov-Witten invariants, which has let to the introduction of Frobenius manifolds, originally introduced as a way to encode the structure of 2D topological field theories. In this framework - where Hamiltonian and bi-Hamiltonian structures appear as naturally associated to Frobenius manifolds and to their dispersionless (genus zero, hydrodynamic type) hierarchies of integrable equations - the problem of dispersive deformation and classification of these structures was first formulated. The field has developed rapidly, and recently the application of homological algebra techniques to the computation of Poisson and bi-Hamiltonian cohomology groups, has led to a complete description of the full cohomology in several relevant cases, including the proof of the conjecture on the existence of general deformations of semi-simple bi-Hamiltonian structures of hydrodynamic type. Recently similar techniques have been used to solve long standing problems about the classification of the integrable hierarchies of topological type. This project's aim is to contribute to the study of the existence and classification of dispersive deformations of structures in the theory of integrable hierarchies. Several open problems include the classification of Poisson structures with several independent variables, of bi-Hamiltonian structures, the application of cohomological methods to the quasi-Miura transformations and to the quasi-triviality of bi-Hamiltonian structures and hierarchies, to the existence of dispersive versions of the Virasoro and larger symmetry groups and the equivalence of the DZ and DR constructions of integrable hierarchies. In addition, an open problem of interest is to find more candidates of bi-Hamiltonian hierarchies related to cohomological field theories. In principle, for bi-Hamiltonian structures that are associated to Frobenius manifolds, we know that certain invariants (known as the central invariants) must be equal to . Recently, it was proven that certain constrained hierarchies (in particular, the rationally constrained KP hierarchies) also exhibit this property. We propose to apply a similar reduction process to suitable and well known hierarchies of importance, such as the 2D Toda hierachy, and then investigate the existence of a bi-Hamiltonian structure for the constrained system of equations, as well as to compute the associated central invariants of the bi-Hamiltonian structure.