Le spectre des triangles euclidiens et autres formes simples

The spectrum of Euclidean triangles and other simple shapes

• Auteur / Autrice : Bruno Belloc
• Direction : Luc Hillairet
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2023
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)

Mots clés

Mots clés libres

Analyse semiclassique

Théorie des perturbations

Théorie spectrale

Spectral theory

Perturbation theory

Semiclassical analysis

Résumé

Le spectre du Laplacien euclidien dans un domaine T du plan, est un objet mathématique très étudié. Du point de vue physique, on l'associe souvent à la suite des fréquences propres d'un tambour qui aurait la forme de T . On se propose ici d'étudier cet objet dans le cas où T est un triangle euclidien. Plusieurs résultats sont connus dans ce cadre. Par exemple, on sait que la connaissance de tout le spectre détermine le triangle [1]. On connait aussi la façon dont les premières valeurs propres dégénèrent quand le triangle devient de plus en plus plat [3]. On sait aussi que, pour la plupart des triangles, les fréquences propres sont simples [2]. Il reste cependant de nombreuses questions intéressantes à étudier. On aimerait par exemple démontrer qu'il suffit de connaître un nombre fini de fréquences propres pour déterminer le spectre d'un triangle, ou encore mieux comprendre le lieu des triangles qui ont des valeurs propres multiples. Ces questions nécessitent d'aborder le spectre comme une fonction des paramètres géométriques du triangle et de dépasser la théorie des perturbations habituellement utilisée dans ce cadre. D'autres formes géométriques simples pourront aussi être étudiées.

The spectrum of the Euclidean Laplace operator in a planar domain T is a very well-studied mathematical object. From the physical point of view, it is associated with the sequence of eigenfrequencies of a drum that is shaped in form of T. We propose here to study this object in the case that T is a Euclidean triangle. Several results are known in this case. For example, it is known that knowing the spectrum determines the triangle [3]. The way the first eigenfrequencies behave when the triangles flatten is also known as well as the fact that, for most triangles, the eigenfrequencies are simple [2]. Several interesting questions remain open. For instance we would like to prove that knowing a finite number of eigenfrequencies is enough to determine the triangle, or get a better understanding of the set of triangles that have multiple eigenvalues. These questions require to view the spectrum as a function of the geometrical parameters and to go beyond the pertubation theory that is usual in this setting. Other simple geometrical shapes could also be studied.