Collisions en théorie cinétique à des échelles de temps longues

Collisions in kinetic theory on long time scales

• Auteur / Autrice : Florent Fougères
• Direction : Isabelle Gallagher, Sergio Simonella
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Ecole normale supérieure

Mots clés

Mots clés libres

Théorie cinétique des gaz

Équation de Boltzmann

Limites d'échelle

Kinetic theory of gases

Boltzmann equation

Scaling limits

Résumé

This project thesis is devoted to the mathematical analysis of scaling limits for large particle systems. The foundations of the kinetic theory of gases can be given a solid mathematical structure as predicted already in Hilbert's VIth problem and after a long series of works initiated by H. Grad and O. Lanford. Still, the theory is far from a mature state and the most important problems remain open. In this thesis we focus on two of such widely open problems: 1) large deviations on long time scales; 2) microscopic derivation of Landau's theory. The main goal of problem 1 is to describe the macroscopic fluctuations in a Hamiltonian system of classical particles (for instance hard spheres) with random initial conditions, in a limit of low-density (Boltzmann-Grad limit). The average behaviour is governed by the Boltzmann equation, and the most important problem in kinetic theory is constructing physical solutions of such equation globally in time. This problem seems to be exceptionally difficult. Even locally in time, the link with microscopic systems is very delicate. A completely alternative take on this problem, focused on large deviations, has been developed recently by T. Bodineau, I. Gallagher, L. Saint-Raymond and S. Simonella. Here the Boltzmann equation is replaced by a much richer structure based on a Hamilton-Jacobi equation, a variational principle and connections with gradient flows. Such a refined analysis is still restricted to very short times. In this project, we tackle the problem of extending the large deviations results to longer times. In order to do so, in absence of any previous result in this direction, we shall start from the simplest possible case. We will therefore study the small perturbations of a gas at equilibrium, for instance induced by a tagged particle in a Rayleigh gas. The main goal of problem 2 is to derive kinetic equations describing collisions in plasma physics. The common theme with project 1 is the control of the collisional dynamics up to long time scales, and here up to diffusive scales. It is indeed known from Landau's work that, for charged particles, the Boltzmann equation needs to be replaced by a diffusive variant of it. Landau argued from the Boltzmann equation itself, truncating divergencies and applying a delicate procedure in which binary collisions transform into a weak coupling process. This famous approximation argument has been the subject of intense mathematical investigation. However, a derivation of Landau's equation from the Newton laws is totally open. This problem requires the development of new, highly nontrivial techniques. A good model system to approach this problem is provided again by the Rayleigh gas, or by the even simpler Lorentz gas (a tracer particle moving in a random distribution of scatterers): the expected kinetic equation is in these cases a Landau equation of linear type. Some results are available in such cases, but only for unrealistic potentials or with no quantitative convergence bounds.

Ce projet de thèse est dédié à l'analyse mathématique de limites d'échelle pour des grands systèmes de particules. Les fondements de la théorie cinétique des gaz ont un socle mathématique solide comme le prévoyait déjà le VIème problème de Hilbert et après une longue série de travaux initiés par H. Grad et O. Lanford. Pourtant, la théorie est loin d'être arrivée à maturité et les problèmes les plus importants restent ouverts. Dans cette thèse, nous étudierons deux problèmes qui sont largement ouverts: 1) la théorie des grandes déviations sur de longues échelles de temps; 2) la dérivation microscopique de la théorie de Landau. L'objectif principal du problème 1 est de décrire les fluctuations macroscopiques dans un système Hamiltonien de particules classiques (par exemple des sphères dures) avec des conditions initiales aléatoires, dans une limite de densité faible (limite de Boltzmann-Grad). Le comportement moyen est donné par l'équation de Boltzmann, et le problème le plus important de la théorie cinétique est la construction de solutions physiques d'une telle équation globalement en temps. Ce problème semble être exceptionnellement difficile. Même localement en temps, le lien avec les systèmes microscopiques est très délicat. Une approche complètement alternative de ce problème, centrée sur les grandes déviations, a été développée récemment par T. Bodineau, I. Gallagher, L. Saint-Raymond et S. Simonella. Ici l'équation de Boltzmann est remplacée par une structure beaucoup plus riche basée sur une équation de Hamilton-Jacobi, un principe variationnel et des liens avec des flots gradient. Cette analyse est toujours limitée à des temps très courts. Dans ce projet, nous abordons le problème de l'extension des résultats de grandes déviations à des temps plus longs. Pour ce faire, en l'absence de tout résultat préalable dans ce sens, nous partirons du cas le plus simple possible : nous étudierons donc les petites perturbations d'un gaz à l'équilibre, par exemple induites par une particule marquée dans un gaz de Rayleigh. L'objectif principal du problème 2 est d'obtenir des équations cinétiques décrivant les collisions en physique des plasmas. Le thème commun avec le projet 1 est le contrôle de la dynamique collisionnelle jusqu'à des échelles de temps longs, et ici jusqu'aux échelles diffusives. Il est en effet connu des travaux de Landau que, pour les particules chargées, l'équation de Boltzmann doit être remplacée par une variante diffusive de celle-ci. Landau a argumenté à partir de l'équation de Boltzmann elle-même, tronquant les divergences et appliquant une procédure délicate dans laquelle les collisions binaires se transforment en un processus de couplage faible. Cet argument d'approximation a fait l'objet d'intenses recherches mathématiques. Cependant, une dérivation de l'équation de Landau à partir de modèles microscopiques (loi de Newton) est totalement ouverte. Ce problème nécessite le développement de nouvelles techniques non triviales. Un bon modèle pour aborder ce problème est fourni encore par le gaz de Rayleigh, ou encore par le gaz de Lorentz (une particule marquée se déplaçant dans une distribution aléatoire d'obstacles) : l'équation cinétique attendue est dans ces cas une équation de Landau de type linéaire. Quelques résultats sont disponibles dans de tels cas, mais uniquement pour des potentiels pas réalistes ou sans borne de convergence quantitative.