Orthospectre des longueurs des surfaces :aspects hyperboliques et algorithmiques

Length orthospectra of surfaces :hyperbolics and algorithmics aspect

• Auteur / Autrice : Nolwenn Le quellec
• Direction : Stéphane Sabourau
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LAMA -- Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées

Mots clés

Mots clés libres

Mathématiques

Géométrie

Orthospectre

Hyperbolique

Mathematics

Geometry

Orthospectrum

Hyperbolic

Résumé

Le but principal de la thèse est l'étude de l'orthospectre des surfaces hyperboliques à bord défini comme l'ensemble des longueurs des orthogéodésiques (arcs géodésiques orthogonaux au bord en chacune de ses extrémités) comptées avec multiplicités. L'orthospectre a été relativement peu étudié. On sait qu'il détermine la longueur totale du bord de la surface, l'aire de la surface et l'entropie du flot géodésique via les séries de Poincaré. Quant à savoir si l'orthospectre détermine la surface hyperbolique, Masai et McShane ont montré très récemment que, dans le cas d'une surface hyperbolique avec une seule composante de bord, seul un nombre fini d'autres surfaces hyperboliques ont le même orthospectre. Pendant son stage de M2, Nolwenn Le Quellec a étendu ce résultat au cas des surfaces à plusieurs composantes de bord. Notons que dans les deux cas, la preuve repose sur un argument de compacité et ne permet pas d'obtenir de borne explicite. Un premier objectif est de trouver une borne explicite sur le nombre de surfaces hyperboliques ayant même orthospectre. Une approche naturelle consiste à adapter les techniques de Buser et Parlier (qui s'applique au spectre des longueurs) au cas de l'orthospectre. Une autre question dans cette veine est de voir si le résultat de Wolpert s'étend à l'orthospectre, autrement dit, si une surface hyperbolique ''générique'' est déterminée par son orthospectre. Un second objectif serait d'étudier l'orthospectre simple défini comme l'ensemble des longueurs des orthogéodésiques simples comptées avec multiplicités. Notons que dans le cas fermé des résultats de rigidité pour le spectre des longueurs simples n'ont été obtenus que très récemment par Baik, Choi et Kim. Dans le cas des surfaces à bord, il semblerait que seul un nombre fini de surfaces hyperboliques ont le même orthospectre simple, à isométries près. La clé pourrait résider dans une minoration a priori de la systole. Remarquons également que contrairement au cas du spectre des longueurs, la question de savoir s'il existe des surfaces hyperboliques fermées non-isométriques avec le même spectre des longueurs simples est toujours ouverte. Étudier l'analogue de cette question pour l'orthospectre simple semble plus abordable que dans le cas fermé dans la mesure où Masai et McShane ont monté qu'il est plus simple de construire des surfaces avec le même orthospectre qu'avec le même spectre des longueurs. Un troisième objectif de cette thèse est de développer des algorithmes pour calculer l'(ortho)-spectre des longueurs des graphes ou des surfaces. Cette question fait suite au travail récent de Delecroix-Ebbens-Lazarus-Yakovlev (arXiv 2023) qui décrivent un algorithme pour calculer le spectre des longueurs des graphes plongés dans le tore. Pour les k premières valeurs du spectre, ils obtiennent un temps de calcul en O(k log n), où n est la complexité du graphe. Une autre conséquence de leur travail est qu'il est possible de déterminer en temps polynomial si deux graphes plongés ont le même spectre marqué des longueurs. Un problème naturel est de chercher à étendre ces différents résultats au cas de l'orthospectre qu'il soit simple ou pas. Là encore, les questions ne manquent pas et le sujet ne demande qu'à prendre son essor. Outre les problèmes concrets décrits ci-dessus, ce sujet se prête à de nombreuses généralisations. On pourra par exemple étudier l'orthospectre des surfaces hyperboliques de type infini, des surfaces à courbure variable négative ou des variétés hyperboliques de dimension supérieure.

The main goal of the thesis is the study of the orthospectrum of hyperbolic surfaces with totally geodesic boundary, define as the set of lengths of orthogeodesics ( geodesics arc perpendicular to the boundary at either end ) counted with multiplicity. There has been little study one the orthospectrum. We know it determine the length of the total boundary of the surface, the area's surface and the entropy of the geodesic flow through Poincaré series. About knowing if the orthospectrum determine a hyperbolic surface, Masai and McShane recently showed that in the case of hyperbolic surfaces with single boundary component, there are finitely many choices of other hyperbolic surfaces with the same orthospectrum. During her M2 intership, Nolwenn Le Quellec extend this result to surfaces with several boundary component. In both cases, the proof is based upon a compacity argument and doesn't give an explicit bound. A first goal is to find an explicit bound on the number of hyperbolic surfaces with the same orthospectrum. A natural approach consist in the adaptation of Buser's and Parlier's method (for the length spectra) to the orthospectrum. Another similar question is to ask if Wolpert's result can be adapt to the orthospectrum, i.e. if a “generic” hyperbolic surfaces is determine by its orthospectrum. A second goal is to study the simple orthospectrum define as the set of lengths of simple orthogeodesics counted with multiplicity. Results in the case of the simple length spectra were only obtained recently by Baik, Choi and Kim. In the case of surfaces with boundary, it looks like only a finite number of hyperbolic surfaces share the same simple orthospectrum, up to isometry. The key might lend in a lower bound of the systole. We also remark that contrary to the case of the length spectra, the question of whether hyperbolic close surfaces, non-isometrics sharing the same simple length spectra exist is still open. Studying the analog question with the simple orthospectrum seems easier, indeed Masai and McShan showed that it was easier to construct surfaces sharing the same orthospectrum than surfaces sharing the same length spectra. A third goal of this thesis is to develop algorithm to comput the length (ortho-)spectrum of graph or surfaces. This question follow recent work from Delecroix, Ebbens, Lazarus and Yakovlev wich describe an algorithm to compute the length spectra of graph embedded into the torus. For the first k value of the spectra, they obtained a computing time in O( k log n), where n is the complexity of the graph. An other consequence of their work is that it is possible to determine in polynomial time if two graph embedded have the same marked length spectra. A natural problem is to see how we can extend thoses results to the case of the orthospectrum, simple or not. Apart from the previous problem, this subject is suitable for a lot of generalization. We could for example study the orthospectre of type infinite hyperbolic surfaces, surfaces with variable negative curvature or hyperbolic manifold of higher dimension.