Décodage générique dans diverses métriques et application à la cryptographie post-quantique

Generic decoding in various metrics and application to post-quantum cryptography

• Auteur / Autrice : Valerian Hatey
• Direction : Laura Luzzi
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Stic - ed em2psi
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : CY Cergy Paris Université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Économie, Management, Mathématiques, Physique et Sciences Informatiques (Cergy-Pontoise, Val d'Oise)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : ETIS - Equipes Traitement de l'Information et Systèmes

Mots clés

Mots clés libres

Cryptographie

Codes correcteurs d'erreurs

Réseaux euclidiens

Cryptographie post-quantique

Théorie de l'information

Cryptography

Error correcting codes

Lattices

Post-quantum cryptography

Information theory

Résumé

La sécurité de la plupart des cryptosystèmes utilisés de nos jours est basée sur la difficulté à résoudre certains problèmes calculatoires. Par exemple, les cryptosystèmes RSA ou encore Diffie-Hellman reposent sur la factorisation et le logarithme discret. Avec l'avènement des ordinateurs quantiques qui utilisent un tout nouveau paradigme de calcul, ces deux problèmes deviennent faciles à résoudre (en temps polynomial). De telles machines rendraient alors nos systèmes de sécurité numériques obsolètes. Malgré le fait que les ordinateurs quantiques actuels ne sont qu'au stade de prototype, ces techniques font des progrès significatifs suite aux investissements massifs dans ce domaine au niveau international. Il est donc impératif de se préparer à ce risque en développant des systèmes cryptographiques résistants aux ordinateurs quantiques, notamment pour protéger des données devant rester secrètes sur une longue période. C'est un des objets de la cryptographie post-quantique: créer des cryptosystèmes qui s'exécutent sur des machines classiques tout en résistant à de futures attaques quantiques. C'est dans ce contexte que le NIST lance en 2023 sa deuxième compétition dont le but est de définir les futures standards de cryptographie. Pour construire des cryptosystèmes resistants aux ordinateurs quantiques, on peut par exemple se reposer sur un problème NP-complet bien connu qui semble rester difficile, même dans le paradigme de calcul quantique : le problème du décodage générique. Ce problème s'énonce ainsi : Dans un espace métrique (E,d), étant donné un sous-ensemble C inclu dans E, un vecteur y dans E et une distance t, trouver x dans C à distance t de y. Ce problème peut être intéressant dans différents espaces métriques. Dans cette thèses on s'intéressera : — à la cryptographie fondée sur les réseaux euclidiens où E est un espace vectoriel sur R et C un ensemble discret de points; — à la cryptographie fondée sur les codes en métrique de Hamming où E est un espace vectoriel sur un corps fini (binaire ou non) et C un sous-espace vectoriel de E; — à la cryptographie fondée sur les codes en métrique rang où E est un espace de matrices et la distance d est le rang de la différence de deux matrices; — à la métrique de Lee, de Grassmann… L'objectif de la thèse est d'étudier en profondeur les techniques de décodage dans les différentes métriques et de les implémenter. Cela permettra de mesurer précisément la sécurité des cryptosystèmes proposés dans les compétitions du NIST. Nous accorderons une attention particulière à la signature Wave dont la sécurité repose sur le problème de décodage en métrique de Hamming ternaire.

The robutness of most cryptosystems used today is based on the difficulty of solving certain computational problems. For example, RSA or Diffie-Hellman cryptosystems are based on the factorization and the discrete logarithm problems. With the advent of quantum computers that uses a very new computational paradigm, these two previous problems become easy to solve (in polynomial time). Such machines would then render our digital security systems obsolete. Despite the fact that current quantum computers are only at the prototype stage, these techniques are making significant progress following massive investments in this field at the international level. It is therefore imperative to prepare for this risk by developing cryptographic systems resistant to quantum computers, in particular to protect data that must remain secret over a long period. This is one of the purposes of post-quantum cryptography: to create cryptosystems that run on classical machines while resisting future quantum attacks. It is in this context that the NIST is launching its second competition in 2023, the aim of which is to define future cryptography standards. To build quantum-resistant cryptosystems, one can for example rely on a well-known NP-complete problem which seems to remain difficult, even in the quantum computing paradigm: the generic decoding problem. This problem can be stated as follows: In a metric space (E,d), given a subset C included in E, a vector y in E and a distance t, find x in C at distance t from y. This problem can be interesting in various metric spaces. In this thesis we will focus on: — cryptography based on lattices where E is a vector space over R and C a discrete set of points; — cryptography based on Hamming metric codes where E is a vector space over a finite field (binary or not) and C a vector subspace of E; — cryptography based on rank metric codes where E is a space of matrices and the distance d is the rank of the difference between two matrices; — the Lee metric, the Grassmann metric The objective of the thesis is to study in depth the decoding techniques in the various metrics and to implement them. This will make it possible to precisely measure the security of the cryptosystems proposed in the NIST competitions. We will pay particular attention to Wave signature whose security relies on the decoding problem in ternary Hamming metric.