Thèse en cours

Polytopes moments associés à des carquois munis d'une involution

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Auteur / Autrice : Antoine Médoc
Direction : Paul-Emile Paradan
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck

Résumé

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Le sujet de thèse a pour objet la description de certains polytopes moments qui apparaissent dans la théorie des représentations de carquois. À un carquoi Q sans cycle et muni d'un vecteur dimension v, on associe un polytope moment M(Q,v) associé à l'action d'un groupe GL(Q,v) sur un espace vectoriel Rep(Q,v) et un semi-groupe SI(Q,v) formé des semi-invariants de cette action. Dans les années 2000, Derksen et Weyman ont décrit le semi-groupe SI(Q,v) au moyen des inégalités associées aux vecteurs de sous-dimension de Schofield. Ils montrent aussi comment déterminer M(Q,v) au moyen du semi-groupe SI(Q',v') associé à un carquoi augmenté. En 2019, Baldoni, Vergne et Walter décrivent de manière récursive M(Q,v) au moyen des positions de Schubert des sous-représentations de Rep(Q,v). L'object de cette thèse est de considérer le cadre d'un carquoi (Q,v) muni d'une involution. On est amené à considérer le sous-semi groupe SI(Q,v)° et le sous-polytope M(Q,v)° formé des éléments anti-invariants. En 2021, Paradan a étudié le cadre général des actions hamiltoniennes munies d'une involution, et il a donné une méthode pour déterminer le polytope moment formé des éléments anti-invariants. Le projet de thèse est de décrire les inégalités définissant le polytope M(Q,v)°. Pour cela, il faudra sûrement conjuguer les outils développés d'un côté par Baldoni-Vergne-Walter et de l'autre par Paradan.