Comportement asymptotique de modèles épidémiologiques avec charge virale individuelle

Asymptotic behavior of epidemiological models with individual viral load

• Auteur / Autrice : Vincent Kagan
• Direction : Denis Villemonais, Edouard Strickler
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 18/09/2023
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM - INFORMATIQUE - AUTOMATIQUE - ELECTRONIQUE - ELECTROTECHNIQUE - MATHEMATIQUES
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : PROBAS STATS

Mots clés

Mots clés libres

Distribution quasi-stationnaire

Modélisation stochastique

Limite d'échelle de modèles stochastiques

Scaling limit of stochastic models

Quasi-stationary distribution

Stochastic modeling

Résumé

L'objectif de ce projet de thèse est d'étudier une famille de processus épidémiologiques, où la dynamique aléatoire de contamination d'un individu vers ses voisins est déterminée par un état virologique propre à l'individu et qui évolue lui même de manière stochastique. Plus précisément, les liens de contamination sont représentées par un graphe et l'évolution des charges virales indivudelles sont modélisées par des processus de Markov absorbés. Le premier travail à réaliser est de montrer la bonne définition du processus. En effet,à partir du moment où l'espace d'état est infini, il y a un risque d'accumulation en temps fini du nombre d'événements de contaminations, y compris lorsque que le nombre d'individus infectés au temps 0 est fini. Deux pistes seront envisagées : d'une part donner des critères suffisants pour garantir la non-explosion du nombre de contaminations, d'autre part une construction qui autorise l'accumulation du nombre de contaminations. Un de nos objectifs principaux est de montrer que, dans une bonne échelle de temps, un tel processus d'épidémiologie a priori complexe peut être approximé par un processus simplifié, dont les taux d'infections sont donnés par les valeurs propres des processus stochastiques sous-jacents. La preuve de ce type de résultat s'appuierait de manière centrale sur l'existence d'une distribution quasi-stationnaire et la méta-stabilité des processus de dynamique virale, qui seraient établies en utilisant notamment des outils développés précédemment par les encadrants. Nous souhaitons également montrer que, en fonction des paramètres du modèle, l'épidémie s'éteint ou devient, au contraire, persistante. Pour cela, nous nous appuierons sur des comparaisons stochastiques avec des modèles classiques dont le comportement est connu (par exemple le processus de Galton-Watson, les processus de naissance et mort, ou le contact process). Nous chercherons, dans les cas sous-critiques, à déterminer l'existence et, le cas échéant, l'unicité d'une distribution quasi-stationnaire pour le processus épidémiologique.

The objective of this thesis project is to study a family of epidemiological processes, where the random dynamics of contamination from an individual to his neighbors is determined by a virological state specific to the individual and which evolves itself in a stochastic way. More precisely, the contamination links are represented by a graph and the evolution of the individual viral loads are modeled by absorbed Markov processes. The first task is to show the correct definition of the process. Indeed, from the moment when the state space is infinite, there is a risk of accumulation in finite time of the number of contamination events, including when the number of infected individuals at time 0 is finite. Two directions will be considered: to provide sufficient criteria to guarantee the non-explosion of the number of contaminations, and to give a construction that allows the accumulation of the number of contaminations. One of our main objectives is to show that, in a good time scale, such a complex epidemiological process can be approximated by a simplified process, whose infection rates are given by the eigenvalues of the underlying stochastic processes. The proof of this type of results would rely centrally on the existence of a quasi-stationary distribution and the meta-stability of the viral dynamics processes, which would be established using tools previously developed by the supervisors. We also wish to show that, depending on the parameters of the model, the epidemic becomes extinct or, on the contrary, persistent. To do so, we will rely on stochastic comparisons with classical models whose behavior is known (e.g. the Galton-Watson process, the birth and death process, or the contact process). In the subcritical cases, we will try to determine the existence and, if necessary, the uniqueness of a quasi-stationary distribution for the epidemiological process.