Foncteurs de bi-ensembles sur la catégorie des systèmes de fusion

Biset functors on the fusion category

• Auteur / Autrice : Marc Talleux
• Direction : Radu Stancu
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 04/09/2023
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences, Technologie, Santé
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LAMFA - Laboratoire Amiénois de Mathématiques Fondamentales et Appliquées

Mots clés

Mots clés libres

Systèmes de fusion

Théorie de la representation

Anneaux de Burnside

Théorie des categories

Burnside rings

Fusion systems

Representation theory

Category theory

Résumé

Soit p un nombre premier. Les systèmes de fusion sont des catégories qui généralisent l'action par conjugaison d'un groupe fini sur les sous-groupes d'un de ses p-sous-groupes de Sylow. Ces dernières structures se sont prouvées essentielles dans la recherche menant à la classification des groupes finis simples. Le but de cette thèse est d'étudier la théorie des représentations des systèmes de fusion via les foncteurs de bi-ensembles de la catégorie de fusion. On souhaite détecter des critères de non-évanescence des évaluations de foncteurs simples dans ce contexte. On sera aussi à la recherche des propriétés de quasi-hérédité ou des propriétés de semi-simplicité de l'algèbre des endomorphismes d'un système de fusion, dans la catégorie de fusion, comme ca a été étudié dans une série d'article par Rognerud, dans le cas des anneaux de Burnside classiques. Une attention particulière sera accordée au calcul des dimensions des évaluations en fonction de la structure du système de fusion. Le souhait à long terme est que, à travers l'étude de ces foncteurs nous arrivons à caractériser la réalisabilité des systèmes de fusion comme des systèmes de fusion des groupes finis ou des blocs de groupes finis.

Let p be a prime number. Fusion systems are general structures mimicking the conjugation action by a finite group on the subgroups of one of its Sylow p-subgroups. The latter have been essential structures in the research leading to the classification of finite simple groups. The aim of this PhD is to study the representation theory of fusion systems via the biset functors from the fusion category. We wish to detect non-vanishing criteria of the evaluation of simple functors in this context. We will look for quasi-heredity and semi-simplicity properties of the endomorphism algebra of a fusion system, in the fusion category, as was studied by Rognerud for the classical Burnside rings. We will study in particular the dimensions of the evaluations and their connection with the structure of fusion systems. In the long run, we wish to use the study of biset functors of the fusion category, to give information of the realizability of fusion systems as fusion systems of finite groups or of blocks of finite groups.