Homogénéisation des systèmes hyperboliques et application à la dynamique des dislocations

Homogenization of Hyperbolic systems and application to Dislocation Dynamics

• Auteur / Autrice : Diana Al zareef
• Direction : Ahmad El hajj, Hassan Ibrahim
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2023
• Etablissement(s) : Compiègne en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Compiègne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques appliquées de Compiègne

Mots clés

Mots clés libres

Dynamique des dislocations

Analyse numériques

EDP non-linéaires

Mathématiques Appliquées

Physique des matériaux

Systèmes hyperboliques

Physics of materials

Applied mathematics

Numerical analysis

Dislocation dynamics

Hyperbolic systems

Non-linear PDEs

Résumé

Les dislocations sont des défauts microscopiques présents dans la plupart des matériaux réels, surtout dans les alliages métalliques (comme par exemple le fer, l'aluminium, le magnésium, le cuivre et autres). La présence de ces défauts est la cause principale de la plasticité et de la viscoplasticité. Pour cette raison, il est très intéressant d'étudier leur dynamique, afin de mieux comprendre le comportement d'un système mécanique assez complexe soumis à des forces extérieures. Mathématiquement, la dynamique des dislocations est décrite par un système d'équations de type hyperbolique nonlinéaires et non-locales, dont l'analyse constitue un sujet relativement peu étudié qu'il est question d'aborder dans cette thèse. Plus précisément, il est proposé d'une part de revisiter de façon systématique les modèles classiques de la dynamique des dislocations, en établissant une modélisation rugueuse dans un cadre bidimensionnel où les équations se résolvent naturellement du point de vue de l'analyse numériques à l'aide de schémas numériques dont on prouvera la convergence. D'autre part, on cherche à donner à travers des résultats d'analyse asymptotique quelques explications permettant de comprendre certains phénomènes observés expérimentalement, comme celui de « Bandes de glissement persistantes ». En effet il a été observé, via de nombreuses études expérimentales sur des monocristaux, que sous l'effet d'une contrainte appliquée les dislocations s'arrangent principalement sous forme de bandes de glissement persistantes où des millions de dislocations s'accumulent jusqu'à la création d'une fissure. Il est question dans cette thèse de justifier ce type de comportement en s'appuyant sur une démarche multi-échelle fondée sur une nouvelle technique d'homogénéisation pour les équations de type hyperbolique.

Dislocations are microscopic defects present in most real materials, especially in alloys metal (such as iron, aluminum, magnesium, copper and others). The presence of these defects is the main cause of plasticity and viscoplasticity. For this reason, it is very interesting to study their dynamic, in order to better understand the behavior of a fairly complex mechanical system subjected to forces exterior. Mathematically, the dynamics of dislocations is described by a system of nonlinear hyperbolic type equations and non-local, the analysis of which constitutes a subject relatively little studied that it is a question of addressing in this thesis. More precisely, it is proposed on the one hand systematically revisit the classic models of dynamics of dislocations, by establishing a modeling rough in a two-dimensional framework where the equations are naturally resolve from an analysis point of view digital using digital diagrams which will be proven convergence. On the other hand, we seek to provide through results of asymptotic analysis some explanations allowing us to understand certain observed phenomena experimentally, like that of “Sliding bands persistent”. Indeed it has been observed, via numerous experimental studies on single crystals, only under the effect of an applied constraint the dislocations arrange themselves mainly in the form of slip bands persistent where millions of dislocations accumulate until a crack is created. It is a question in this thesis to justify this type of behavior by relying on a multi-scale approach based on a new homogenization technique for type equations hyperbolic.