Positivité locale et syzygies des variétés hyperkähleriennes.

Local positivity and syzygies of hyperkähler manifolds

• Auteur / Autrice : Aurelien Faucher
• Direction : Gianluca Pacienza
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 12/09/2023
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : GEOMETRIE

Mots clés

Mots clés libres

Variétés hyperkähleriennes

Sous-variétés spéciales

Positivité locale

Syzygies

Hyperkähler manifolds

Special subvarieties

Local positivity

Syzygies

Résumé

Le cadre général de ce projet de thèse est l'étude des variétés hyperkähleriennes projectives (HK dans ce qui suit) et, plus spécifiquement, la théorie des séries linéaires sur celles-ci. Le but de ce projet de thèse est triple : premièrement, l'étudiant introduira et étudiera des constantes de type Seshadri (appelées constantes de HK Seshadri dans ce qui suit) en remplaçant le produit d'intersection avec les courbes qui apparâit dans leur définition « classique » par l'intersection avec les diviseurs par rapport à la forme de Beauville-Bogomolov-Fujiki. Toute la théorie des constantes de Seshadri-HK doit être construite par analogie avec le cas des surfaces. Cela représente certainement un défi, mais comme cette approche est complètement nouvelle, elle peut conduire à des avancées importantes et il y a une longue liste d'étapes intermédiaires naturelles à franchir. Le second aspect de ce projet est l'étude des propriétés (N_p) de Green-Lazarsfeld des syzygies d'un faisceau en droites L sur une variété HK projective. Rappelons que les syzygies sont les relations entre les équations qui définissent la variété dans le plongement projectif induit par le fibré en droites (resp. les relations entre ces relations, et ainsi de suite). De manière informelle, on dit que le faisceau satisfait la propriété (N_p) si les p premières syzygies sont aussi simples que possible et on s'attend à ce que cela soit régi par la positivité de L. Une conjecture célèbre dans cette direction a été formulée par Mukai et elle prédit la propriété (N_p) pour les fibrés en droites adjoints K_X+mL associés à un fibré en droites ample L, dès que m est plus grand que la dimension de la variété plus p+2. Pour les variétés abéliennes, de bien meilleures bornes sont disponibles et indépendantes de la dimension. Le second objectif principal de ce projet est de prouver des résultats analogues pour les variétés projectives HK. Enfin, comme démontré par Agostini-Küronya-Lozovanu dans le cas des surfaces algébriques, un troisième objectif est d'établir un lien entre la propriété (N_p) et les bornes inférieures sur les constantes de Seshadri-HK.

The general framework of this thesis project is the study of projective hyperkähler (HK in what follows) manifolds and, more specifically the theory of linear series on them. The goal of this thesis project is threefold: first the student will introduce and study Seshadri-type constants (called HK-Seshadri constants in what follows) by replacing in their definition the intersection product with curves with the intersection with divisors with respect to the Beauville-Bogomolov-Fujiki form. The whole theory of HK-Seshadri constants is to be built in analogy to the surface case. This certainly represents a challenging task yet, as this approach is completely new, it may lead to important advances and there is a long list of natural intermediate steps to be attacked. The second aspect of this project is the study of Green–Lazarsfeld's properties (N_p) associated to the syzygies of a line bundle L on a projective HK manifold. Recall that syzygies are the relations between the equations that define a variety in the projective embedding induced by the line bundle (resp. relations between these relations and so on). Roughly, one says that the bundle satisfies property (N_p) if the first p syzygies are as simple as possible and it is expected that this is governed by the positivity of L. A famous conjecture in this direction was formulated by Mukai and it predicts property (N_p) for adjoint line bundles K_X+mL associated to an ample line bundle L, as soon as m is greater than the dimension of the variety plus p+2. For abelian varieties far better bounds are available and independent of the dimension. The second main goal of this project is to prove analogous results on projective HK manifolds. Finally, as proved by Agostini-Küronya-Lozovanu in the case of algebraic surfaces, a third goal is to establish a link between the property (N_p) and lower bounds on the HK Seshadri constants.