Recherche Avancée

Thèse en cours

Codes algébriques pour des preuves de calculs.

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Auteur / Autrice : Tanguy Medevielle
Direction : Sylvain Duquesne
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Mathematiques
Date : Inscription en doctorat le 08/09/2023
Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
Ecole(s) doctorale(s) : Mathématiques, informatique, signal et électronique et télécommunications.
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : INSTITUT DE RECHERCHE MATHEMATIQUE DE RENNES - Laboratoire d'Informatique de l'École polytechnique

Résumé

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Le calcul vérifiable vise à résoudre le problème suivant : est-il possible de fournir une preuve très compacte que le résultat d’un calcul d’importance est correct? C’est une problématique cryptographique : il faut s’assurer qu’un prouveur malhonnête ne puisse pas fournir une preuve d’un calcul faux. Historiquement, cette problématique est illustrée par les certificats de primalité : il existe un algorithme qui détermine si un nombre est premier (ce qui est un problème difficile) et, si c’est le cas, l’accompagne d’une preuve, ou certificat, rapide à vérifier. Des progrès majeurs ont été récemment obtenus dans ce domaine. Au niveau quantitatif, il est possible de fournir des preuves de tout type de calcul (Turing complétude). Du point de vue qualitatif, les preuves sont spectaculairement courtes (logarithmiques en la taille du calcul). Certaines méthodes reposent sur la théorie des codes correcteurs algébriques, principalement les codes de Reed-Solomon. Ce sont les codes algébriques les plus simples, et nous proposons d’étudier des codes algébriques plus élaborés. De nombreux gains sont envisagés, en termes de complexités algorithmiques et de taille de preuves. Aussi, en diversifiant les codes utilisables dans les systèmes de preuve, ces derniers seront plus flexibles et pourront s’adapter au calcul à vérifier. D’autres constructions sont basées sur des codes avec des propriétés de localité, à savoir la possibilité de corriger/décoder un symbole en n’accédant qu’à une faible proportion d’un mot. Les codes algébriques sur des variétés de dimension supérieure, en commençant par les surfaces, sont naturellement munis de ce type de propriétés locales. Or, les travaux sur les codes sur les surfaces n’ont débuté qu’il y a une quinzaine d’années et leur localité n’a commencé à être étudiée que très récemment. Nous proposons d’élaborer dans ce projet de nouvelles familles de codes algébriques avec localité.