Orientations contraintes de graphes

Constrained orientations of graphs

• Auteur / Autrice : Matthieu Petiteau
• Direction : Sylvain Gravier
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et Informatique
• Date : Inscription en doctorat le 30/09/2023
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble, Isère, France ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier

Mots clés

Mots clés libres

Orientation

Graphe

Parité

Graph

Orientation

Parity

Résumé

Un grand nombre de problèmes sur les graphes non orientés peuvent se formuler en la description d'une orientation de celui-ci ayant certaines propriétés. On pense tout de suite aux problèmes de parcours. Un chemin hamiltonien est un graphe partiel orienté comme un chemin qui contient tous les sommets. Un parcours eulérien peut être décrit par une orientation des arêtes du graphe de sorte que, pour chaque sommet, on a égalité entre le degré sortant et le degré entrant. L'application d'un algorithme glouton pour le problème de coloration optimale des sommets d'un graphe se réduit à la recherche d'un ordre sur les sommets du graphe. Cet ordre peut être vu comme une orientation acircuitique du graphe. Pour la plupart de ces problèmes, exhiber une orientation satisfaisant les contraintes requises s'avère une tâche extrêmement difficile. Dans l'exemple de la coloration, il est bien connu que ce problème des NP-difficile. Par contre, on pourra étudier des classes de graphe et/ou des contraintes sur les orientations particulières pour lesquelles il existe des algorithmes efficaces. Dans le cadre de cette thèse, on étudiera des contraintes de type parité sur les sommets. Chevalier, Jaeger, Payan et Xuong, ont formulé ce type de problème : Etant donnés un graphe non orienté et un sous-ensemble de sommets O, la question est de chercher une orientation pour laquelle seuls les sommets de O ont un degré entrant impair. Une condition nécessaire apparait rapidement (simple double comptage), en effet, le nombre de sommet de O doit être de même parité que le nombre d'arête. Les auteurs montrent, par une preuve simple par récurrence, que cette condition est suffisante. Chevalier et al. ont introduit cette notion afin de donner une nouvelle caractérisation des graphes dits 'upper-embeddables' (graphes dont le genre maximum est égal à la moitié du nombre de Betti). La contrainte sur l'orientation, utilisée pour cette caractérisation, consiste à fixer un sommet spécial (dit racine) dont le degré sortant est nul et tous les autres sommets sont dans O. D'autres auteurs ont réinvesti cette approche en considérant l'existence d'un nombre fixé k de racines. Ils donnent des caractérisations des graphes admettant de telles orientations. Ces caractérisations permettent d'étendre des résultats de Nash-William sur la couverture des arêtes par k forêts et aussi d'obtenir des résultats sur les graphes 2k-arête-connexes. Depuis, ces conditions ont été transposées sur des structures plus générales que les graphes : matroïdes, hypergraphes, fonctions super-modulaires ... L'ensemble de ces travaux montre le potentiel de cette approche et l'un des enjeux du travail de thèse sera de déterminer de nouvelles conditions tout aussi prometteuses.

A large number of problems on undirected graphs can be formulated as the description of an orientation of the graph having certain properties. One thinks immediately of path problems. A Hamiltonian path is a partial graph oriented as a path that contains all vertices. An Eulerian path can be described by an orientation of the edges of the graph so that, for each vertex, we have equality between the outgoing degree and the incoming degree. The application of a gluttonous algorithm for the problem of optimal coloring of the vertices of a graph reduces to the search for an order on the vertices of the graph. This order can be seen as an acircuitical orientation of the graph. For most of these problems, exhibiting an orientation satisfying the required constraints is an extremely difficult task. In the example of coloring, it is well known that this problem is NP-hard. On the other hand, one can study classes of graphs and/or constraints on particular orientations for which efficient algorithms exist. In this thesis, we will study parity constraints on vertices. Chevalier, Jaeger, Payan and Xuong formulated this type of problem: Given an undirected graph and a subset of vertices O, the question is to find an orientation for which only the vertices of O have an odd incoming degree. A necessary condition appears quickly (simple double counting), indeed, the number of vertices of O must be of same parity as the number of edges. The authors show, by a simple proof by recurrence, that this condition is sufficient. Chevalier et al. introduced this notion in order to give a new characterization of the so-called 'upper-embeddable' graphs (graphs whose maximum genus is equal to half the Betti number). The constraint on the orientation, used for this characterization, consists in fixing a special vertex (called root) whose outgoing degree is zero and all other vertices are in O. Other authors have reinvested this approach by considering the existence of a fixed number k of roots. They give characterizations of graphs admitting such orientations. These characterizations allow to extend Nash-William's results on the coverage of edges by k forests and also to obtain results on 2k-edge-connected graphs. Since then, these conditions have been transposed on more general structures than graphs: matroids, hypergraphs, super-modular functions ... All these works show the potential of this approach and one of the stakes of the thesis will be to determine new conditions just as promising.