Analyse microlocale non archimédienne

Non-archimedian micro-local analysis

• Auteur / Autrice : Téofil Adamski
• Direction : Michel Raibaut
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : Chambéry
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques

Mots clés

Mots clés libres

Intégration motivique

Analyse microlocale

Géométrie non archimédienne

Motivic integration

Micro-local analysis

Non-archimedian geometry

Résumé

Issue de l'analyse de Fourier, l'analyse microlocale est une branche de l'analyse en mathématique, où l'on travaille avec des variables d'espace x et de fréquence xi. Cette théorie a été introduite en 1970, indépendamment par Sato et Hörmander, et associe à une distribution u, une partie R^n × R^n de que l'on appelle front d'ondes de u et qui mesure son défaut de lissité. Par exemple, si la distribution est solution d'une équation aux dérivées partielles, alors son front d'ondes satisfait des contraintes géométriques. L'analyse microlocale est aujourd'hui d'usage courant et a des applications concrètes comme la tomographie. L'objectif de cette thèse consiste à poursuivre des travaux récents sur les fronts d'ondes de distributions dans le contexte non-archimédien. Ainsi, au lieu de considérer R muni de sa valeur absolue, on travaillera sur un corps valué, par exemple le corps des nombres p-adiques Q_p ou celui des séries de Laurent C((t)), tous deux munis de leur valeur absolue respective. Dans un tel cadre, l'analyse et la géométrie sont très différentes des cas usuels, par exemple tous les triangles sont isocèles, toutes les boules ouvertes sont fermées et non nécessairement compactes. Toutefois, une théorie de l'analyse harmonique existe et est actuellement en plein développement. Dans le cas de Q_p, elle est reliée à la théorie des nombres et par exemple des questions d'uniformité des résultats en le nombre premier p se posent. Dans le cas de C((t)), elle est liée à la géométrie algébrique et notamment à l'intégration motivique introduite par Kontsevich. Les questions d'analyse réelle se transposent alors naturellement au cas non-archimédien et par exemple un des points qui sera abordé dans la thèse sera de définir, en utilisant l'intégration motivique à la Cluckers-Loeser, une nouvelle notion de fronts d'ondes pour les distributions non-archimédiennes, en remplaçant l'usage de la transformation de Fourier par celui de la transformation de Fourier–Bros–Iagolnitzer et comparer alors les fronts d'ondes obtenus.

Coming from Fourier analysis, microlocal analysis is a branch of mathematics, where we work with space variables x and frequency variables xi. This theory was introduced in 1970, independently by Sato and Hörmander, and associates to a distribution u, a part of R^n × R^n, called wave front set of u and which measures the lack of smoothness of u. For example, if the distribution is a solution of a partial differential equation, then its wavefront set satisfies geometric constraints. Microlocal analysis is now in common use and has concrete applications such as tomography. The objective of the thesis consists in continuing recent works on the wavefronts of distributions in the non-archimedean context. Thus, instead of considering the field of real numbers endowed with its absolute value, we will work with a valued field, for example the field of p-adic numbers Q_p or that of Laurent series C((t)), both respectively endowed with their absolute value. In such setting, analysis and geometry are very different from the usual real case, for instance all the triangles are isosceles, all the open balls are closed and not necessarily compact. However, a theory of harmonic analysis exists and is currently in full development. In the case of Q_p, it is connected to number theory implying questions of uniformity results in the prime number p. In the case of C((t)), it is related to algebraic geometry and in particular to motivic integration introduced by Kontsevich. The questions of real analysis are naturally transposed in the non-Archimedean case and for example one of the points which will be considered in the thesis will be to define, using motivic integration of Cluckers-Loeser, a new notion of wavefront sets for non-archimedean distributions, replacing the use of the Fourier transformation the Fourier-Bros-Iagolnitzer transformation and then comparing the wave fronts obtained.